[论文解读] Ultimate Boundedness for Switched Systems with Multiple Equilibria Under Disturbances

Sushant Veer, Ioannis Poulakakis|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2018

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文建立了在外部扰动下具有多个平衡点的切换离散与连续系统的最终有界性，表明若每个子系统均为输入到状态稳定（ISS），且切换满足平均驻留时间约束，则解将保持在与扰动幅值单调相关的紧致集合内。该结果推广了具有共同平衡点的切换系统经典ISS理论。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the robustness to external disturbances of switched discrete and continuous systems with multiple equilibria. It is shown that if each subsystem of the switched system is Input-to-State Stable (ISS), then under switching signals that satisfy an average dwell-time bound, the solutions are ultimately bounded within a compact set. Furthermore, the size of this set varies monotonically with the supremum norm of the disturbance signal. It is observed that when the subsystems share a common equilibrium, ISS is recovered for solutions of the corresponding switched system; hence, the results in this paper are a natural generalization of classical results in switched systems that exhibit a common equilibrium. Additionally, we provide a method to analytically compute the average dwell time if each subsystem possesses a quadratic ISS-Lyapunov function. Our motivation for studying this class of switched systems arises from certain motion planning problems in robotics, where primitive motions, each corresponding to an equilibrium point of a dynamical system, must be composed to realize a task. However, the results are relevant to a much broader class of applications, in which composition of different modes of behavior is required.

研究动机与目标

• 分析具有多个平衡点的切换系统在外部扰动下的鲁棒性。
• 将输入到状态稳定（ISS）理论扩展至子系统不共享共同平衡点的切换系统。
• 建立在切换和扰动下解仍保持最终有界的条件。
• 当存在二次ISS-李雅普诺夫函数时，提供一种可解析计算的平均驻留时间边界。
• 通过支持机器人运动规划中不同动力学行为（如步态基元）的鲁棒组合，实现对机器人运动的可靠控制。

提出的方法

• 以各子系统的输入到状态稳定（ISS）为基础，分析切换系统在扰动下的行为。
• 应用平均驻留时间切换信号，确保在子系统具有不同平衡点时整体系统仍保持稳定。
• 采用多个李雅普诺夫函数，这些函数在切换期间可能增加，但在平均驻留时间约束下整体上趋于减少。
• 推导出状态偏离各自子系统平衡点的上界，表明其依赖于初始条件和扰动幅值。
• 提出一种方法，当每个子系统均具有二次ISS-李雅普诺夫函数时，可解析计算平均驻留时间。
• 使用类𝐾∞和类𝐾𝐿函数刻画系统的最终有界性和瞬态衰减行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种切换条件下，具有多个平衡点的切换系统在外部扰动下仍保持最终有界？
• RQ2 当子系统不共享共同平衡点时，输入到状态稳定（ISS）是否可在切换系统中保持？
• RQ3 此类系统中最终有界性的大小如何依赖于扰动幅值？
• RQ4 对于具有二次ISS-李雅普诺夫函数的系统，是否可解析计算平均驻留时间约束？
• RQ5 切换信号与整体系统行为鲁棒性之间存在何种关系？

主要发现

• 若每个子系统均为ISS，且切换信号满足平均驻留时间边界，则切换系统的解最终有界于一个紧致集合内。
• 最终有界性的大小随扰动信号的上确界范数单调增加。
• 当所有子系统共享一个共同平衡点时，系统恢复完整的ISS，表明本研究结果推广了经典切换系统ISS理论。
• 若每个子系统均具有二次ISS-李雅普诺夫函数，则可解析计算平均驻留时间。
• 最终有界性依赖于相对于各自子系统平衡点的初始偏差，并通过类𝐾∞函数与扰动幅值成比例。
• 状态偏差的瞬态衰减由类𝐾𝐿函数刻画，确保状态渐近收敛至最终有界集。