[论文解读] Ultralocal energy density in massive gravity

Vladimir O. Soloviev, Margarita V. Tchichikina|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文在广义相对论引力理论（RTG）框架下，采用Kuchař的方法，为大质量引力提出了一种时空协变的哈密顿形式，通过两个度量构造出超局部量，将庞加莱生成元表示为空间积分。关键结果是识别出总能量-动量张量 $ T^{ u\beta}_{\text{total}} = -\frac{m^2}{\kappa} f^{ u\beta} $，即使在无物质的情况下，该张量也确保了能量-动量守恒与庞加莱代数的闭合性（无中心荷），且闵可夫斯基空间中的能量密度 $ \frac{m^2}{\kappa} $ 为正值。

ABSTRACT

We provide a space-time covariant Hamiltonian treatment for a finite-range gravitational theory. The Kuchar approach is used to demonstrate the bimetric picture of space-time in its most transparent form. This Hamiltonian formalism is applied for the straightforward realization of the Poincaré algebra in Dirac brackets. It uncovers the simplest form of the Poincaré generators expressed as spatial integrals of ultralocal quantities constructed pure algebraically by means of the two space-time metrics.

研究动机与目标

• 为大质量引力构建一种保持一般坐标不变性并允许灵活时空叶状结构的时空协变哈密顿形式。
• 通过要求动力度量的光锥位于背景度量的光锥之内，解决双度量引力中的因果性问题。
• 将庞加莱生成元构造为空间积分，其被积函数为从两个度量代数导出的超局部表达式。
• 证明总能量-动量张量 $ T^{ u\beta}_{\text{total}} = -\frac{m^2}{\kappa} f^{ u\beta} $ 确保守恒律与无中心荷的庞加莱代数。
• 为正则量子化以及大质量与无质量引力之间的数值比较提供基础。

提出的方法

• 采用Kuchař的正则形式，将动力度量与背景度量视为具有不同角色的独立变量。
• 利用动力度量与背景度量对时空张量进行 $3+1$ 分解，确保时空超曲面在两种度量下均为类空。
• 从拉格朗日量推导哈密顿量，识别出非动力度量分量引起的四组一阶与四组二阶第二类约束。
• 代数求解第二类约束，消除四个度量分量，从而简化相空间并构造狄拉克括号。
• 将庞加莱生成元（能量、动量、角动量）表示为空间积分，其被积函数为从两个度量构造的超局部量。
• 将总能量-动量张量定义为 $ T^{ u\beta}_{\text{total}} = -\frac{m^2}{\kappa} f^{ u\beta} $，其中 $ f^{ u\beta} $ 为常时间超曲面上诱导度量的逆。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有两个独立度量的大质量引力，一致地构造一种时空协变的哈密顿形式？
• RQ2 RTG的双度量结构是否允许无中心荷的庞加莱代数的一致实现？
• RQ3 大质量引力中的能量-动量张量的本质是什么？它是否确保正能量与守恒律？
• RQ4 庞加莱生成元的超局部结构能否仅从两个度量代数导出？
• RQ5 大质量引力中无一阶约束的存在，与无质量引力相比，如何影响柯西问题？

主要发现

• 总能量-动量张量被识别为 $ T^{ u\beta}_{\text{total}} = -\frac{m^2}{\kappa} f^{ u\beta} $，该表达式确保了能量-动量守恒与庞加莱代数的闭合性。
• 在无物质的闵可夫斯基空间中，能量密度为 $ \frac{m^2}{\kappa} $，为正值且有限，意味着真空能量密度非零。
• 庞加莱生成元被表示为空间积分，其被积函数为从两个度量代数构造的超局部量，确保了显式的协变性。
• 狄拉克括号闭合并构成无中心荷的庞加莱代数，证实了对称代数的一致性。
• 在背景度量的协变导数下，能量-动量张量满足 $ (T^{ u\beta}_{\text{total}})_{;\nu} = 0 $，确保了对 Killing 向量的守恒性。
• 理论避免了球对称配置中的负能量流，因标量波辐射缺失，支持了理论的稳定性。