[论文解读] Ultraproducts, weak equivalence and sofic entropy

Alessandro Carderi|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文证明了可数群在非退化概率空间上的任意保测度作用均弱等价于在标准概率空间上的作用，并在弱等价类上引入一种度量拓扑，该拓扑通过超积表征收敛性。关键贡献在于证明了有限型作用是有限作用的超积的弱等价，从而得出关于索菲克熵的推论：对于自由群及某些具有 (T) 性质的群，有限型作用的索菲克熵在很大程度上取决于索菲克逼近的选择。

ABSTRACT

In this work, we study pmp actions of countable groups on arbitrary diffuse probability spaces under the point of view of weak equivalence. We will show that any such an action is weakly equivalent to an action on a standard probability space. We also propose a metric on the space of actions modulo weak equivalence which is equivalent to the topology of Abért and Elek. We will give a simpler proof of the compactness of the space, showing that convergence is characterized by ultraproducts. Using this topology, we will show that a profinite action is weakly equivalent to an ultraproduct of finite actions. Finally, combining our results with another result of Abért and Elek, we will obtain a corollary about sofic entropy. We will show that for free groups and some property (T) groups, sofic entropy of profinite actions depends crucially on the chosen sofic approximation.

研究动机与目标

• 建立在非退化概率空间上的每个保测度作用均弱等价于在标准概率空间上的作用。
• 在弱等价类上定义一种紧致的度量拓扑，该拓扑与 Abért 和 Elek 的拓扑等价。
• 证明该拓扑中的收敛性可通过超积表征，从而给出紧致性的新且简化的证明。
• 证明有限型作用弱等价于有限作用的超积，将群论结构与动力等价性联系起来。
• 将上述结果应用于索菲克熵，证明熵值可因所用索菲克逼近的不同而发生剧烈变化。

提出的方法

• 通过群作用下分区的 F-统计量逼近来定义弱包含。
• 基于统计量的渐近逼近引入弱等价类上的度量，该度量与 Abért 和 Elek 的拓扑等价。
• 应用超积构造证明作用序列的极限对应于超积，从而证明紧致性。
• 利用有限型作用作为有限商群 $G/H_n$ 的极限这一事实，并证明此类极限弱等价于 $G/H_n$ 的超积。
• 结合 Abért 和 Elek 关于索菲克熵的结果，并利用超积表征分析熵对索菲克逼近选择的依赖性。
• 运用引理 3.13 构造具有任意小熵的生成分区，从而通过 Bowen 定理在对角积上计算熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个在非退化概率空间上的保测度作用是否均弱等价于在标准概率空间上的作用？
• RQ2 在标准空间上的作用的弱等价类拓扑是否等价于由超积收敛表征的度量拓扑？
• RQ3 有限型作用是否弱等价于有限作用的超积？
• RQ4 对于自由群或 $\mathrm{PSL}_k(\mathbb{Z})$ 群，有限型作用的索菲克熵是否依赖于索菲克逼近的选择？
• RQ5 能否构造出在一种索菲克逼近下熵为正，在另一种下为 $-\infty$ 的作用？

主要发现

• 每个在非退化概率空间上的保测度作用均弱等价于在标准概率空间上的作用，如定理 2.15 所示。
• 弱等价类空间 $\overline{\operatorname{Act}}(G)$ 赋予一种紧致的度量拓扑，该拓扑与 Abért 和 Elek 的拓扑等价，且收敛性由超积表征。
• 有限型作用弱等价于有限作用的超积，如推论 B 所确立。
• 对于自由群及 $\mathrm{PSL}_k(\mathbb{Z})$（$k \geq 2$），存在作用在一种索菲克逼近下索菲克熵为 $r \geq 0$，在另一种下为 $-\infty$，如定理 3.12 所示。
• 通过同余子群的不可比较链，证明了 $\mathrm{PSL}_k(\mathbb{Z})$（$k \geq 3$）存在不可比较的连续统多个有限型作用。
• 定理 3.12 的证明依赖于构造具有任意小熵的生成分区（引理 3.13），并应用 Bowen 定理在对角积上计算熵。