[论文解读] Unbounded Fredholm modules and double operator integrals

Denis Potapov, Fedor Sukochev|ArXiv.org|Aug 21, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文在半有限非交换几何中建立了映射 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ 的换乘估计与连续可微性，证明了若 $ (1+D_0^2)^{-1/2} \in \mathcal{E} $ 且 $ D - D_0 \in \mathcal{M} $，则有 $ \|f(D) - f(D_0)\|_{\mathcal{E}} \leq C \|D - D_0\|_{\mathcal{M}} $。该结果确保有界弗雷德霍姆模 $ F_D $ 继承 $ \mathcal{E} $-可和性，且映射连续可微，从而消除了谱流理论中先前的技术假设。

ABSTRACT

In noncommutative geometry one is interested in invariants such as the Fredholm index or spectral flow and their calculation using cyclic cocycles. A variety of formulae have been established under side conditions called summability constraints. These can be formulated in two ways, either for spectral triples or for bounded Fredholm modules. We study the relationship between these by proving various properties of the map on unbounded self adjoint operators $D$ given by $f(D)=D(1+D^2)^{-1/2}$. In particular we prove commutator estimates which are needed for the bounded case. In fact our methods work in the setting of semifinite noncommutative geometry where one has $D$ as an unbounded self adjoint linear operator affiliated with a semi-finite von Neumann algebra $\aM$. More precisely we show that for a pair $D,D_0$ of such operators with $D-D_0$ a bounded self-adjoint linear operator from $\aM$ and $ ({\bf 1}+D_0^2)^{-1/2}\in \sE$, where $\sE$ is a noncommutative symmetric space associated with $\aM$, then $$ \Vert f(D) - f (D_0) \Vert_{\sE} \leq C\cdot \Vert D-D_0\Vert_{\aM}. $$ This result is further used to show continuous differentiability of the mapping between an odd $\sE$-summable spectral triple and its bounded counterpart.

研究动机与目标

• 在半有限冯诺依曼代数的背景下，建立映射 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ 的换乘估计。
• 证明若 $ (1+D^2)^{-1/2} \in \mathcal{E} $，则有界弗雷德霍姆模 $ F_D $ 也具有 $ \mathcal{E} $-可和性。
• 证明映射 $ D \mapsto F_D $ 在 $ \mathcal{M} $ 中有界自伴扰动的仿射空间上连续可微。
• 通过建立从无界到有界弗雷德霍姆模映射的光滑性，消除谱流理论中先前所需的技术假设。

提出的方法

• 作者分析无界自伴算子 $ D $ 上的函数 $ f(t) = t / \sqrt{1 + t^2} $，定义 $ F_D = f(D) $。
• 他们利用泛函演算和算子 $ T_{\psi_f}(D, D_0) $，通过双重算子积分表示差值 $ f(D) - f(D_0) $。
• 关键估计依赖于非交换对称空间 $ \mathcal{E} $ 中的广义霍尔德不等式，且对 $ \|T_{\psi_f}(D, D_0)\|_{B(\mathcal{L}^\infty, \mathcal{E})} \leq c $ 给出界。
• 可微性证明利用了导数的分解 $ \frac{dF_t}{dt} = T_{\psi_f}(D_t, D_t) \frac{dD_t}{dt} $，其在 $ \mathcal{E} $-范数下收敛。
• 通过将差值 $ \frac{dF_t}{dt}(s) - \frac{dF_t}{dt}(0) $ 分解为三项，每项在 $ s \to 0 $ 时于 $ \mathcal{E} $ 中趋于零，证明了导数的连续性。
• 分析在具有正规、忠实、迹权 $ \tau $ 的半有限冯诺依曼代数框架下进行，且 $ \mathcal{E} $ 是 $ \tau $-可测算子的非交换对称空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在半有限非交换几何中，映射 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ 在何种条件下保持 $ \mathcal{E} $-可和性？
• RQ2 能否在不局限于施瓦茨类或迪克曼理想的前提下，建立换乘估计 $ \|[F_D, a]\|_{\mathcal{E}} \leq c \|[D, a]\| $？
• RQ3 在一般 $ \mathcal{E} $-可和性条件下，从无界到有界弗雷德霍姆模的映射是否连续可微？
• RQ4 算子 $ f(D) $ 的可微性如何与无界自伴算子路径上的谱流相关？
• RQ5 能否利用此框架消除谱流理论中关于 $ D_0 $ 和路径 $ D_t $ 的技术假设？

主要发现

• 当 $ D, D_0 $ 为自伴算子且 $ D - D_0 \in \mathcal{M} $，且 $ (1+D_0^2)^{-1/2} \in \mathcal{E} $ 时，映射 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ 满足估计 $ \|f(D) - f(D_0)\|_{\mathcal{E}} \leq C \|D - D_0\|_{\mathcal{M}} $。
• 当 $ (1+D^2)^{-1/2} \in \mathcal{E} $ 时，有界弗雷德霍姆模 $ F_D $ 具有 $ \mathcal{E} $-可和性，且由 $ [D, a] \in \mathcal{B}(\mathcal{H}) $ 可推出 $ [F_D, a] \in \mathcal{E} $。
• 映射 $ D \mapsto F_D $ 在 $ D_0 $ 的有界自伴扰动仿射空间上连续可微，其导数为 $ \frac{dF_t}{dt} = T_{\psi_f}(D_t, D_t) \frac{dD_t}{dt} $。
• 若 $ \frac{dD_t}{dt} $ 关于算子范数连续，则导数 $ \frac{dF_t}{dt} $ 在 $ \mathcal{E} $-范数下连续。
• 该结果消除了谱流理论中先前的技术假设，因为映射的光滑性现可在一般 $ \mathcal{E} $-可和性条件下建立。
• 证明依赖于双重算子积分技术与非交换对称空间中的广义霍尔德不等式，且对算子 $ T_{\psi_f} $ 给出一致有界性。