[论文解读] Understanding the second quantization of fermions in Clifford and in Grassmann space -- New way of second quantization of fermions, Part I

N. S. Mankoč Borštnik, H. B. F. Nielsen|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2020

International Science and Diplomacy被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于格拉塞曼代数与克利福德代数的任意子费米子第二次量子化新框架，表明其内禀基向量的奇异性自然诱导反对易关系，而无需假设狄拉克的条件。关键结果是：格拉塞曼费米子产生整数自旋态，而克利福德费米子重现半整数自旋，从而在代数上解释狄拉克假设，并在高维模型中统一描述费米子家族与规范对称性。

ABSTRACT

Both algebras, Clifford and Grassmann, offer "basis vectors" for describing the internal degrees of freedom of fermions. The oddness of the "basis vectors", transferred to the creation operators, which are tensor products of the finite number of "basis vectors" and the infinite number of momentum basis, and to their Hermitian conjugated partners annihilation operators, offers the second quantization of fermions without postulating the conditions proposed by Dirac, enabling the explanation of the Dirac's postulates. But while the Clifford fermions manifest the half integer spins -- in agreement with the observed properties of quarks and leptons and antiquarks and antileptons -- the "Grassmann fermions" manifest the integer spins. In Part I properties of the creation and annihilation operators of integer spins "Grassmann fermions" are presented and the proposed equations of motion solved. The anticommutation relations of second quantized integer spin fermions are shown when applying on the vacuum state as well as when applying on the Hilbert space of the infinite number of "Slater determinants" with all the possibilities of empty and occupied "fermion states". In Part II the conditions are discussed under which the Clifford algebras offer the appearance of the second quantized fermions, enabling as well the appearance of families. In both parts, Part I and Part II, the relation between the Dirac way and our way of the second quantization of fermions is presented.

研究动机与目标

• 提供费米子第二量子化统计的推导，无需假设狄拉克所要求的反对易关系。
• 阐明格拉塞曼代数与克利福德代数中内禀基向量的奇异性如何自然导致费米子反对易关系。
• 在统一的代数框架下，解释为何克利福德代数产生半整数自旋（夸克、轻子），而格拉塞曼代数产生整数自旋。
• 展示该形式化方法如何使费米子家族出现，并与卡鲁扎-克莱因类理论及标准模型之外的物理相联系。
• 阐明标准狄拉克第二量子化与基于内禀空间奇异性的新代数方法之间的关系。

提出的方法

• 利用具有反对易坐标 $\theta^a$ 和导数 $\partial/\partial\theta^a$ 的格拉塞曼代数，在 $d$ 维内禀空间中构造基态。
• 将产生与湮灭算符定义为内禀格拉塞曼/克利福德基向量与动量空间态的张量积，继承自代数的奇异性。
• 通过定义由湮灭与产生算符乘积之和构成的真空态，代数验证反对易关系。
• 利用洛伦兹代数生成元 $S^{ab}$ 分类不可约表示，并将手征性 $\Gamma^{(d)}$ 定义为 $SO(d)$ 不变量。
• 通过 $\gamma^a = \theta^a + \partial/\partial\theta^a$ 和 $\tilde{\gamma}^a = i(\theta^a - \partial/\partial\theta^a)$ 引入两个克利福德代数，其中一者生成半整数自旋费米子。
• 施加约束（式 19），减少克利福德代数的自由度，通过 $\tilde{S}^{ab}$ 实现家族量子数，并区分不可约表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不假设狄拉克所设定的反对易关系的前提下，推导费米子的第二量子化？
• RQ2 格拉塞曼代数与克利福德代数中内禀基向量的奇异性在生成费米子统计中起何作用？
• RQ3 为何格拉塞曼费米子自然描述整数自旋态，而克利福德费米子描述半整数自旋态？
• RQ4 所提出的形式化方法如何解释狄拉克第二量子化假设的起源？
• RQ5 该代数结构能否自然解释高维模型中费米子家族与规范对称性的存在？

主要发现

• 第二量子化费米子的反对易关系自然源自格拉塞曼与克利福德代数中内禀基向量的奇异性，无需人为假设。
• 由 $\theta^a$ 与 $\partial/\partial\theta^a$ 的奇次乘积构造的格拉塞曼费米子产生整数自旋态，且在作用于真空或斯莱特行列式希尔伯特空间时满足反对易关系。
• 通过 $\gamma^a = \theta^a + \partial/\partial\theta^a$ 定义的克利福德费米子产生与观测到的夸克和轻子一致的半整数自旋态。
• 选择 $\gamma^a$ 而非 $\tilde{\gamma}^a$ 的约束减少了克利福德与格拉塞曼代数的自由度，从而禁用基本整数自旋费米子的存在。
• 洛伦兹代数 $S^{ab}$ 的不可约表示携带由 $\tilde{S}^{ab}$ 决定的独立家族量子数，其中包含 $d/2$ 个彼此对易的算符。
• 手征性算符 $\Gamma^{(d)} = (i)^{d/2} \prod_a \sqrt{\eta^{aa}} \gamma^a$ 是 $SO(d)$ 不变量，在克利福德代数框架中用于区分手征态。