[论文解读] Une formule intégrale reliée à la conjecture locale de Gross-Prasad, 2ème partie: extension aux représentations tempérées

Jean-Loup Waldspurger|ArXiv.org|Apr 2, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用 29

一句话总结

本文在局部Gross-Prasad猜想的背景下，建立了对 tempered 表示的谱与几何等式，证明了 $ H(F) $ 的表示 $ \rho $ 在 $ G(F) $ 的表示 $ \pi $ 中的重数 $ m(\rho,\pi) $ 等于一个几何迹公式表达式 $ m_{\text{geom}}(\rho,\pi) $，将先前关于 cuspidal 表示的结果推广至 tempered 表示。关键结果是存在唯一一对 $ (\rho,\pi) $ 满足 $ m(\rho,\pi) = 1 $，从而证实了对正交群的局部Gross-Prasad猜想中关于 tempered $ L $-包的核心预测。

ABSTRACT

Let $F$ be a non-archimedean local field, of characteristic 0. Let $V$ be a finite dimensional vector space over $F$ and $q$ be a non-degenerate quadratic form on $V$. Denote $G$ the special orthogonal group of $(V,q)$. Let $W$ a non-degenerate hyperplane of $V$, denote $H$ the special orthogonal group of $W$. Let $π$, resp. $σ$, an admissible irreducible representation of $G(F)$, resp. $H(F)$. Denote $m(σ,π)$ the dimension of the complex space $Hom_{H(F)}(π_{| H(F)},σ)$. It's know that $m(σ,π)=0$ or 1. In a first paper, we have defined another term $m_{geom}(σ,π)$. It's an explicit sum of integrals of functions that can be deduced from the characters of $σ$ and $π$. Assume that $π$ and $σ$ are tempered. Then we prove the equality $m(σ,π)=m_{geom}(σ,π)$. This generalize the result of the first paper, where $π$ was supercuspidal. As in this paper, the previous equality implies as corollary (assuming certain properties of tempered $L$-packets) a weak form of the local Gross-Prasad conjecture, now for pairs of tempered $L$-packets.

研究动机与目标

• 将与局部Gross-Prasad猜想相关的积分公式从 cuspidal 推广至 tempered 表示。
• 对 tempered $ \pi $ 和 $ \rho $ 建立等式 $ m(\rho,\pi) = m_{\text{geom}}(\rho,\pi) $，推广先前结果。
• 证明存在唯一一对 $ (\rho,\pi) $ 满足 $ m(\rho,\pi) = 1 $，从而证实了关于 tempered $ L $-包的局部Gross-Prasad猜想的关键预测。
• 在局部域上正交群的背景下，统一几何与谱迹公式的处理方法。

提出的方法

• 引入在 $ H(F)U(F)\backslash G(F) $ 的越来越大的紧致子集上取值的积分极限 $ I_N(\theta_\rho, f) $，其中 $ f $ 是 $ G(F) $ 上的一个非常 cuspidal 函数。
• 以两种方式计算极限 $ \lim_{N\to\infty} I_N(\theta_\rho, f) $：几何方式（通过 $ I_{\text{geom}} $）与谱方式（通过 $ I_{\text{spec}} $）
• 推导出涉及 $ L $-包、加权特征标和轨道积分 $ J_L^G(\pi_\lambda, f) $ 的谱公式 $ I_{\text{spec}}(\theta_\rho, f) $。
• 利用 $ I_{\text{geom}} = I_{\text{spec}} $ 推出对 tempered $ \pi $ 和 $ \rho $ 有 $ m(\rho,\pi) = m_{\text{geom}}(\rho,\pi) $。
• 应用一个引理，将 $ m_{\text{geom}}(\rho, I\theta_f) $ 与 $ m_{\text{geom}}(\rho, \pi) $ 关联，将 $ m_{\text{spec}}(\rho, f) $ 与 $ m(\rho, \pi) $ 关联，从而得出最终等式。
• 依赖于假设：tempered 表示可分解为满足 [W1] 13.2 中性质 (1)、(2) 和 (3) 的 $ L $-包，并利用 $ G_i, H_i $ 的对偶形式 $ G_a, H_a $ 的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 等式 $ m(\rho,\pi) = m_{\text{geom}}(\rho,\pi) $ 是否对 tempered 表示 $ \pi $ 和 $ \rho $ 成立，从而推广至 cuspidal 情况之外？
• RQ2 当 $ N \to \infty $ 时，积分表达式 $ I_N(\theta_\rho, f) $ 的极限的谱解释是什么？
• RQ3 在对偶形式 $ G_a $ 和 $ H_a $ 中，重数 $ m(\rho,\pi) $ 如何在 $ L $-包中表现？其唯一性如何？
• RQ4 能否利用谱与几何迹公式等式，确认局部Gross-Prasad猜想对 tempered $ L $-包成立？
• RQ5 $ L $-包结构及其相关特征在谱公式 $ I_{\text{spec}} $ 中起什么作用？

主要发现

• 对所有 $ G(F) $ 的 tempered、不可约表示 $ \pi $ 和 $ H(F) $ 的表示 $ \rho $，等式 $ m(\rho,\pi) = m_{\text{geom}}(\rho,\pi) $ 成立，将结果从 cuspidal 情况推广至 tempered 情况。
• 谱公式 $ I_{\text{spec}}(\theta_\rho, f) $ 被推导为 $ L $-包的和，涉及加权特征标和轨道积分 $ J_L^G(\pi_\lambda, f) $，并包含一个涉及 $ t(\pi)^{-1} $ 的校正因子。
• 几何极限 $ I_{\text{geom}}(\theta_\rho, f) $ 被证明等于谱极限 $ I_{\text{spec}}(\theta_\rho, f) $，从而确立了核心恒等式。
• 在 $ (\Sigma_i \times \Pi_i) \cup (\Sigma_a \times \Pi_a) $ 中，重数 $ m(\rho,\pi) $ 恰好对一对 $ (\rho,\pi) $ 为 1，证实了局部Gross-Prasad猜想的唯一性预测。
• 该证明依赖于 $ Temp(G_i) $、$ Temp(G_a) $ 等的分解为满足 [W1] 13.2 中猜想性质 (1)、(2) 和 (3) 的 $ L $-包。
• 在假设对偶形式 $ G_a $、$ H_a $ 存在且其 $ L $-包行为良好（若 $ \Pi_i $ 无对应 $ L $-包，则 $ \Pi_a = \emptyset $）的前提下，该结果成立。