[论文解读] Uniform boundedness of pretangent spaces, local constancy of metric derivatives and strong right upper porosity at a point

Viktoriia Bilet, Oleksiy Dovgoshey+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文证明了在度量空间中某一点处预切空间的一致有界性，等价于该点到其他点距离集合在零处具有完全强洞孔性。此外，本文进一步证明该条件可保证所有度量可微映射的度量导数在局部为常数，并给出了此类导数常数半径的精确下界。

ABSTRACT

Let $(X,d,p)$ be a pointed metric space. A pretangent space to $X$ at $p$ is a metric space consisting of some equivalence classes of convergent to $p$ sequences $(x_n), x_n \in X,$ whose degree of convergence is comparable with a given scaling sequence $(r_n), r_n\downarrow 0.$ A scaling sequence $(r_n)$ is normal if this sequence is eventually decreasing and there is $(x_n)$ such that $\mid d(x_n,p)-r_n\mid=o(r_n)$ for $n o\infty.$ Let $\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$ be the set of pretangent spaces to $X$ at $p$ with normal scaling sequences. We prove that $\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$ is uniformly bounded if and only if $\{d(x,p): x\in X\}$ is a so-called completely strongly porous set. It is also proved that the uniform boundedness of $\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$ is an equivalent of the constancy of metric derivatives of all metrically differentiable mappings on $X$ in the open balls of a fixed radius centered at the marked points of pretangent spaces.

研究动机与目标

• 刻画度量空间中某一点处预切空间的一致有界性。
• 研究距离集合 $ S_p(X) = \{d(x,p) : x \in X\} $ 在零处的洞孔性与预切空间有界性之间的关系。
• 建立预切空间的一致有界性与度量可微映射的度量导数常数性之间的联系。
• 在一致有界性条件下，确定度量导数常数半径的最优（精确）下界。

提出的方法

• 将预切空间定义为收敛于点 $ p $ 的序列的等价类，其收敛速率由一个正规缩放序列 $ (r_n) $ 控制。
• 引入正规缩放序列的概念，其中 $ |d(x_n, p) - r_n| = o(r_n) $，以确保有意义的渐近行为。
• 将 $ \Omega_p^X(n) $ 定义为由正规缩放序列生成的所有预切空间的集合。
• 利用一致离散性及预切空间中不同点之间距离的下确界 $ R_*(\Omega_p^X(n)) $ 来刻画有界性。
• 定义映射 $ f: X \to Y $ 关于一对极大自稳定族 $ \tilde{X}_{p,\tilde{r}} $ 和 $ \tilde{Y}_{a,\tilde{t}} $ 的度量导数 $ D^*f $，并研究其常数性。
• 引入量 $ c_\alpha(D^*f) $，即度量导数 $ D^*f $ 与原点处取值不同的第一个点的距离，以量化其局部常数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，预切空间集合 $ \Omega_p^X(n) $ 一致有界？
• RQ2 预切空间 $ \Omega_p^X(n) $ 的一致有界性与距离集合 $ S_p(X) $ 在零处的洞孔性之间有何关系？
• RQ3 预切空间的一致有界性是否蕴含所有度量可微映射的度量导数具有局部常数性？
• RQ4 在一致有界性条件下，度量导数常数半径的最优（精确）下界是什么？

主要发现

• 集合 $ \Omega_p^X(n) $ 一致有界当且仅当 $ S_p(X) $ 在零处具有完全强洞孔性。
• 集合 $ \Omega_p^X(n) $ 的一致有界性等价于存在一个正的下确界 $ c_X > 0 $，使得对所有度量可微映射 $ f $，有 $ c_\alpha(D^*f) \geq c_X $，其中 $ \alpha $ 是预切空间的原点。
• 常数 $ c_X $ 的精确下界为 $ \frac{1}{M(\tilde{L})} $，其中 $ M(\tilde{L}) $ 是预切空间中不同点之间距离的倒数的上确界。
• 集合 $ \Omega_p^X(n) $ 的一致离散性等价于其一致有界性，且该等价关系成立当且仅当 $ R_*(\Omega_p^X(n)) = \frac{1}{M(\tilde{L})} > 0 $。
• 当在预切空间上取恒等映射时，达到精确下界 $ c_\alpha(id_\Omega) = \frac{1}{M(\tilde{L})} $，从而证实该下界是最优的。
• 当 $ S_p(X) $ 在零处具有完全强洞孔性时，所有度量可微映射的度量导数在半径为 $ \frac{1}{M(\tilde{L})} $ 的球内均为局部常数，表明导数变化具有某种‘局部消失’的性质。