[论文解读] Uniform Positivity and Continuity of Lyapunov Exponents for a Class of $C^2$ Quasiperiodic Schrödinger Cocycles

Yiqian Wang, Zhenghe Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 28被引用 4

一句话总结

该论文为具有狄利克雷频率和势函数非退化极值的$C^2$准周期性薛定谔cocycle建立了Lyapunov指数的统一正性和弱霍尔德连续性。基于渐近稳定/不稳定方向的动力系统方法，作者证明了在大耦合常数下，Lyapunov指数在能量上保持统一正性且连续，其应用涵盖积分态密度分布以及更广泛的$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ cocycle。

ABSTRACT

We show that for a class of $C^2$ quasiperiodic potentials and for any Diophantine frequency, the Lyapunov exponents of the corresponding Schrödinger cocycles are uniformly positive and weak Hölder continuous as function of energies. As a corollary, we also obtain that the corresponding integrated density of states (IDS) is weak Hölder continous. Our approach is of purely dynamical systems, which depends on a detailed analysis of asymptotic stable and unstable directions. We also apply it to more general $\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ cocycles, which in turn can be applied to get uniform positivity and continuity of Lyapuonv exponents around unique nondegenerate extremal points of any smooth potential, and to a certain class of $C^2$ Szeg\H o cocycles.

研究动机与目标

• 为具有狄利克雷频率和势函数非退化极值的$C^2$准周期性薛定谔cocycle建立Lyapunov指数的统一正性。
• 证明在大耦合常数下，Lyapunov指数作为能量函数的弱霍尔德连续性。
• 将结果推广至更一般的$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ cocycle，并应用于$C^2$泽戈cocycle。
• 通过 Thouless 公式建立积分态密度分布（IDS）的连续性。

提出的方法

• 通过分析cocycle的渐近稳定与不稳定方向来控制转移矩阵的增长。
• 采用纯粹的动力系统方法，避免使用谱理论或KAM型方法。
• 应用次可加遍历定理，通过矩阵范数来定义和分析Lyapunov指数。
• 依赖狄利克雷频率条件以确保动力系统中的一致性和正则性。
• 通过莫比乌斯共轭将$\mathrm{SU}(1,1)$ cocycle转化为$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$，以应用主要结果。
• 通过将势函数变换为适合分析的形式，将结果应用于$C^2$泽戈cocycle。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有狄利克雷频率和非退化极值的$C^2$准周期性薛定谔cocycle，Lyapunov指数能否被一个正的常数统一下界控制？
• RQ2 在大耦合常数下，Lyapunov指数在能量上是否连续，若是，其连续模为多少？
• RQ3 Lyapunov指数的结果能否推广至更一般的$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ cocycle，而不仅限于薛定谔型？
• RQ4 通过Thouless公式，积分态密度分布（IDS）是否继承了Lyapunov指数的连续性？
• RQ5 该方法能否用于构造具有统一正Lyapunov指数的光滑cocycle例子？

主要发现

• 对任意$\varepsilon > 0$，存在$\lambda_0 > 0$，使得对所有$E \in \mathbb{R}$和$\lambda \geq \lambda_0$，有$L(E,\lambda) > (1 - \varepsilon)\log \lambda$，从而确立了Lyapunov指数的统一正性。
• 对固定的$\lambda > \lambda_1$，Lyapunov指数$L(E)$在能量上具有弱霍尔德连续性，其连续模形式为$Ce^{-c(\log|E - E'|^{-1})^\sigma}$（其中$0 < \sigma < 1$），表明其具有强连续性。
• 积分态密度分布（IDS）也具有弱霍尔德连续性，这是Thouless公式与Lyapunov指数连续性共同作用的结果。
• 结果可推广至$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ cocycle，其势函数在唯一非退化极值点处满足条件，从而超越了薛定谔型cocycle的限制。
• 构造了一类新的$C^2$泽戈cocycle，其Lyapunov指数统一为正，这是此类例子的首次光滑构造。
• 证明了具有狄利克雷频率和大耦合常数的薛定谔算符的谱，在集合的上极限与下极限意义下，是周期逼近谱的极限。