[论文解读] Uniform sampling of undirected and directed graphs with a fixed degree sequence

Annabell Berger, Matthias Müller‐Hannemann|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2009

Graph theory and applications参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于马尔可夫链的方法，用于对具有固定度序列的无向图和有向图实现均匀采样，解决了标准交换算法在有向情形下因状态图不连通而失效的问题。关键贡献在于对‘弧交换序列’（即状态图强连通的度序列）的表征，以及针对一般度序列的两种解决方案：重定向三元环或在同构连通分量内采样，从而在仅靠交换无法实现时仍能实现均匀采样。

ABSTRACT

Many applications in network analysis require algorithms to sample uniformly at random from the set of all graphs with a prescribed degree sequence. We present a Markov chain based approach which converges to the uniform distribution of all realizations for both the directed and undirected case. It remains an open challenge whether these Markov chains are rapidly mixing. For the case of directed graphs, we also explain in this paper that a popular switching algorithm fails in general to sample uniformly at random because the state graph of the Markov chain decomposes into different isomorphic components. We call degree sequences for which the state graph is strongly connected arc swap sequences. To handle arbitrary degree sequences, we develop two different solutions. The first uses an additional operation (a reorientation of induced directed 3-cycles) which makes the state graph strongly connected, the second selects randomly one of the isomorphic components and samples inside it. Our main contribution is a precise characterization of arc swap sequences, leading to an efficient recognition algorithm. Finally, we point out some interesting consequences for network analysis.

研究动机与目标

• 实现具有指定度序列的图的均匀随机采样，这是网络分析中进行基序和结构属性比较的关键需求。
• 解决标准交换算法在有向图中失效的问题，即可能被困于状态图的不连通分量中。
• 表征使得基于交换的马尔可夫链强连通的度序列（称为‘弧交换序列’），以确保均匀采样在理论上是可行的。
• 为当度序列不是弧交换序列时，提供从所有实现中均匀采样的实用解决方案，方法包括三元环重定向或分量内采样。
• 纠正在有标签有向图上使用标准交换算法时产生的弧存在概率偏差。

提出的方法

• 使用一个状态为给定度序列所有实现的马尔可夫链，其转移规则由无向图和有向图情形下的有效2-交换（边交换或弧交换）定义。
• 引入一种新操作——重定向诱导的有向三元环，以连接非弧交换序列中状态图的不连通分量。
• 通过从同构分量中均匀随机选择一个并在此分量内采样的策略，实现分量内采样。
• 利用对称差分论证和交错圈检测，证明状态图中每个分量内部的强连通性。
• 基于实现中诱导三元环的结构特性，开发了一种高效的弧交换序列识别算法。
• 利用诱导三元环为顶点不相交且可独立重定向的事实，将状态图分解为同构分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何标准交换算法在具有固定度序列的有向图中无法实现均匀采样？
• RQ2 度序列的何种结构特性决定了交换马尔可夫链的状态图是否强连通？
• RQ3 我们能否表征出可通过交换实现均匀采样的度序列类，并高效识别这些序列？
• RQ4 当状态图不连通时，如何修改交换过程以实现均匀采样？
• RQ5 分量内采样或三元环重定向对纠正有标签有向图中弧存在概率偏差有何影响？

主要发现

• 当状态图不连通时，标准交换算法在有向情形下无法实现均匀采样，如一组具有n个诱导三元环的有向图所示，其形成2^{n/3}个孤立分量。
• 当且仅当交换马尔可夫链的状态图为强连通图时，度序列为‘弧交换序列’，且此类序列可被高效识别。
• 对于非弧交换序列，状态图分解为至多2^{⌊|V|/3⌋}个同构分量，每个分量对应诱导三元环的一种固定定向。
• 此类分量的数量恰好为2^k，其中k为任意实现中顶点不相交的诱导三元环的数量。
• 所提出的解决方案——三元环重定向或分量内采样——即使在仅靠交换无法满足时，也能确保对所有实现的均匀采样。
• 在有标签有向图中，标准交换算法引入偏差：诱导三元环中的弧以概率1或0出现，而真实均匀概率应为1/2，该偏差可通过基于分量的方法纠正。