[论文解读] Uniform Stability and Error Analysis for Some Discontinuous Galerkin Methods

Qingguo Hong, Jinchao Xu|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用 6

一句话总结

该论文通过引入参数依赖范数并应用Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi（LBB）理论，建立了混合间断伽辽金（HDG）和弱伽辽金（WG）方法的统一稳定性与最优误差估计。证明了当稳定化参数趋于零时，HDG方法收敛至一种原态协调方法，WG方法收敛至一种混合协调方法，且误差界与这些参数无关。

ABSTRACT

In this paper, we provide a number of new estimates on the stability and convergence of both hybrid discontinuous Galerkin (HDG) and weak Galerkin (WG) methods. By using the standard Brezzi theory on mixed methods, we carefully define appropriate norms for the various discretization variables and then establish that the stability and error estimates hold uniformly with respect to stabilization and discretization parameters. As a result, by taking appropriate limit of the stabilization parameters, we show that the HDG method converges to a primal conforming method and the WG method converge to a mixed conforming method.

研究动机与目标

• 建立HDG与WG方法在稳定化参数与网格参数下的统一稳定性与最优误差估计。
• 证明当稳定化参数趋于零时，HDG方法收敛至原态协调方法，WG方法收敛至混合协调方法。
• 构建参数依赖范数，确保稳定性与误差界在所有参数值下保持一致。
• 通过构造适当的变分格式，将LBB理论的适用性扩展至HDG与WG方法。
• 提供一个统一框架，用于分析不依赖于稳定化参数的间断伽辽金方法的收敛性与稳定性。

提出的方法

• 应用Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi（LBB）理论，通过精心构造的参数依赖范数，推导HDG与WG方法的统一稳定性。
• 定义包含稳定化参数与网格尺寸的范数，确保在所有参数值下保持一致有界。
• 利用HDG与WG方法的变分格式，推导出不依赖于稳定化参数的先验误差估计。
• 构建基于投影的分析框架，将离散解与连续解关联，从而实现最优收敛速率。
• 推导能量型恒等式，并应用带参数化常数的Young不等式，以控制残差项。
• 进行极限分析，表明当稳定化参数趋近于零时，HDG与WG方法收敛至标准协调伽辽金方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能在所有稳定化参数取值下，为HDG与WG方法建立统一稳定性？
• RQ2 HDG与WG方法的误差估计是否保持最优且不依赖于稳定化参数？
• RQ3 当稳定化参数趋于零时，HDG与WG方法的行为如何？
• RQ4 通过适当选择范数，能否有效将LBB理论应用于HDG与WG方法？
• RQ5 当稳定化参数趋于零时，HDG与WG方法的离散解与标准协调伽辽金方法的解之间有何关系？

主要发现

• 在参数依赖范数下，证明了HDG与WG方法的统一稳定性，其界不依赖于稳定化参数与网格尺寸。
• 为HDG与WG方法建立了最优误差估计，其收敛速率不依赖于稳定化参数。
• 当稳定化参数趋于零时，HDG方法收敛至原态协调伽辽金方法。
• 当稳定化参数趋于零时，WG方法收敛至混合协调伽辽金方法。
• 分析结果表明，HDG与WG方法收敛至协调方法的过程在所有参数值下均具有鲁棒性与统一性。
• 所提出的范数与稳定性框架使得HDG与WG方法能够通过经典LBB理论实现统一处理。