[论文解读] Uniform tail approximation of homogenous functionals of Gaussian fields

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出一种统一的双重求和方法，用于推导高斯随机场齐次泛函尾部概率的渐近逼近，将经典的 Pickands 型结果扩展至非平稳和参数依赖的设定。关键贡献在于一个统一的极限结果：在相关结构和参数依赖性满足温和正则性条件时，当 u→∞，泛函 Γ(ξᵤ,τᵤ) 的尾部概率一致收敛于标准正态尾部 Ψ(gᵤ,τᵤ) 的常数倍。

ABSTRACT

Let $X(t),t\in R^d$ be a centered Gaussian random field with continuous trajectories and set $ξ_u(t)= X(f(u)t),t\in R^d$ with $f$ some positive function. Classical results establish the tail asymptotics of $P\{ Γ(ξ_u) > u\}$ as $u o \infty$ with $Γ(ξ_u)= \sup_{t \in [0,T ]^d} ξ_u(t),T>0$ by requiring that $f(u) o 0$ with speed controlled by the local behaviour of the correlation function of $X$. Recent research shows that for applications more general continuous functionals than supremum should be considered and the Gaussian field can depend also on some additional parameter $τ_u \in K$, say $ξ_{u,τ_u}(t),t\in R^d$. In this contribution we derive uniform approximations of $P\{ Γ(ξ_{u,τ_u})> u\}$ with respect to $τ_u$ in some index set $K_u$, as $u o\infty$. Our main result have important theoretical implications; two applications are already included in [10,11]. In this paper we present three additional ones, namely i) we derive uniform upper bounds for the probability of double-maxima, ii) we extend Piterbarg-Prisyazhnyuk theorem to some large classes of homogeneous functionals of centered Gaussian fields $ξ_{u}$, and iii) we show the finiteness of generalized Piterbarg constants.

研究动机与目标

• 将高斯随机场上确界泛函的经典尾部渐近结果，扩展至超出上确界的更一般齐次泛函。
• 在 u→∞ 时，为参数依赖的高斯场 ξᵤ,τᵤ 建立关于 τᵤ∈Kᵤ 的尾部概率统一逼近。
• 将 Piterbarg-Prisyazhnyuk 定理推广至中心化高斯场的一类广泛齐次泛函。
• 在弱正则性条件下证明广义 Piterbarg 常数的有限性。
• 为双最大值概率提供统一上界，这对将极值分析扩展至非平稳和非 i.i.d. 设定至关重要。

提出的方法

• 提出一种统一的双重求和方法，将经典的 Slepian 和双重求和技术扩展至参数依赖的高斯场 ξᵤ,τᵤ（τᵤ∈Kᵤ）。
• 推导统一的渐近等价性：limᵤ→∞ supₜᵤ∈Kᵤ |ℙ{Γ(ξᵤ,τᵤ)>gᵤ,τᵤ}/Ψ(gᵤ,τᵤ) − C| = 0，其中 C 为正的常数。
• 使用阈值依赖高斯过程尾部渐近的统一版本，以统一界替代 Slepian 不等式。
• 应用在不相交区间上双上确界概率的统一紧致性，以控制双重求和展开中的误差项。
• 依赖相关函数的连续性和局部行为，并建立增量方差一致收敛的条件。
• 采用紧致性论证和统一等度连续性，以控制尾部概率对参数 τᵤ 的依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在参数依赖设定下，将高斯随机场齐次泛函的尾部渐近结果从上确界扩展至更一般的泛函？
• RQ2 在 u→∞ 时，何种条件可确保尾部概率在参数集 Kᵤ 上的一致收敛？
• RQ3 Piterbarg-Prisyazhnyuk 定理能否推广至具有参数化依赖关系的非平稳和非 i.i.d. 高斯场？
• RQ4 在何种条件下，通过场的泛函定义的广义 Piterbarg 常数是有限的？
• RQ5 可为非平稳高斯场中的双最大值概率导出何种统一上界？

主要发现

• 本文建立了统一的渐近等价性：limᵤ→∞ supₜᵤ∈Kᵤ |ℙ{Γ(ξᵤ,τᵤ)>gᵤ,τᵤ}/Ψ(gᵤ,τᵤ) − C| = 0，其中 C>0 为依赖于局部相关结构的常数。
• 统一双重求和方法使得经典 Pickands 型结果可推广至非平稳和参数依赖的高斯场。
• 在相关函数和参数空间的温和正则性条件下，证明了广义 Piterbarg 常数的有限性。
• 导出了双最大值概率的统一上界，这对控制双重求和展开中的误差至关重要。
• 在条件 C2 和 (12) 或 (16) 下，证明了增量方差一致收敛性与极限方差函数一致连续性之间的等价性。
• 本文为将极值分析扩展至高斯场的复杂泛函（包括下确界-上确界和双最大值问题）提供了严格的理论基础。