[论文解读] Uniformization of semistable bundles on elliptic curves

Penghui Li, David Nadler|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文通过利用环群的全纯环路群中的扭共轭类，引入了椭圆曲线 $E$ 上半稳定 $G$-丛的复解析统一化。该工作将经典的统一化如 $E \simeq \mathbb{C}^*/q^\mathbb{Z}$ 推广至非交换情形，通过指数映射构造了 $G$ 的统一化，并将这些结果应用于具有幂零奇异支集的层以及亏格 1 的 Betti 几何 Langlands 程序。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected reductive complex algebraic group, and $E$ a complex elliptic curve. Let $G_E$ denote the connected component of the trivial bundle in the stack of semistable $G$-bundles on $E$. We introduce a complex analytic uniformization of $G_E$ by adjoint quotients of reductive subgroups of the loop group of $G$. This can be viewed as a nonabelian version of the classical complex analytic uniformization $ E \simeq \mathbb{C}^*/q^{\mathbb{Z}}$. We similarly construct a complex analytic uniformization of $G$ itself via the exponential map, providing a nonabelian version of the standard isomorphism $\mathbb{C}^* \simeq \mathbb{C}/\mathbb{Z}$, and a complex analytic uniformization of $G_E$ generalizing the standard presentation $E = \mathbb{C}/(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} τ)$. Finally, we apply these results to the study of sheaves with nilpotent singular support. As an application to Betti geometric Langlands conjecture in genus 1, we define a functor from $Sh_\mathcal{N}(G_E)$ (the semistable part of the automorphic category) to ${IndCoh}_{\check{\mathcal{N}}}({Locsys}_{\check G} (E))$ (the spectral category).

研究动机与目标

• 开发椭圆曲线 $E$ 上半稳定 $G$-丛的堆 $G_E$ 的复解析统一化，推广经典统一化。
• 通过 $G$ 的指数映射构造 $\mathbb{C}^* \simeq \mathbb{C}/\mathbb{Z}$ 的非交换类比。
• 利用环路群子簇将标准统一化 $E \simeq \mathbb{C}/(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\tau)$ 推广至非交换情形。
• 将统一化应用于具有幂零奇异支集的层，并在 Betti 几何 Langlands 程序中定义函子。
• 阐明限制函子在抛物子群上的依赖关系及其在亏格 1 情形下的拓扑性质。

提出的方法

• 使用全纯环路群 $L_{\text{hol}}G$ 中的扭共轭类来参数化 $E$ 上的 $G$-丛，推广经典统一化 $E \simeq \mathbb{C}^*/q^\mathbb{Z}$。
• 通过指数映射构造 $G$ 本身的统一化，提供 $\mathbb{C}^* \simeq \mathbb{C}/\mathbb{Z}$ 的非交换版本。
• 利用环路群的约化子群定义堆 $G_E$ 上的解析坐标图，对单连通和一般约化 $G$ 采用李理论方法选择坐标图。
• 通过局部模型的粘合，利用平态坐标图和 1-偏移辛结构构造全局统一化。
• 利用统一化定义从 $\text{Sh}_{\mathcal{N}}(G_E)$ 到 $\text{IndCoh}_{\check{\mathcal{N}}}(\text{Locsys}_{\check{G}}(E))$ 的函子，连接自守与谱范畴。
• 利用扭共轭理论和 $S^1$ 与 $E$ 上规范理论的关系，关联全纯结构与拓扑结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆曲线上半稳定 $G$-丛的堆能否通过环路群的有限维子簇统一参数化？
• RQ2 如何利用环路群结构将经典统一化 $E \simeq \mathbb{C}^*/q^\mathbb{Z}$ 推广至非交换情形？
• RQ3 扭共轭在全纯环路群中在参数化 $E$ 上 $G$-丛时起什么作用？
• RQ4 统一化与具有幂零奇异支集的层的几何之间有何关系？
• RQ5 在亏格 1 的 Betti 几何 Langlands 猜想背景下，限制函子对抛物子群的依赖关系如何？

主要发现

• 椭圆曲线 $E$ 上半稳定 $G$-丛的堆 $G_E$ 可通过全纯环路群 $L_{\text{hol}}G$ 中的扭共轭类实现复解析统一化。
• 通过指数映射构造了 $G$ 的非交换统一化，推广了 $\mathbb{C}^* \simeq \mathbb{C}/\mathbb{Z}$。
• 通过环路群的约化子群，$G_E$ 的统一化推广了标准表达式 $E \simeq \mathbb{C}/(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\tau)$ 至非交换情形。
• 统一化诱导了解析堆 $T_E^{\text{reg}}/W$ 与正则半稳定丛的开子堆 $G_E^{\text{reg}}$ 之间的同构。
• 该构造产生了一个从 $\text{Sh}_{\mathcal{N}}(G_E)$ 到 $\text{IndCoh}_{\check{\mathcal{N}}}(\text{Locsys}_{\check{G}}(E))$ 的函子，为 Betti 几何 Langlands 程序提供了关键步骤。
• 带某点 $x$ 处平凡化的半稳定 $G$-丛的模堆 $\text{Bun}^{0,ss}_{G,x}(E)$ 可由复流形表示，证实了其解析光滑性。