[论文解读] Unimodular L-infinity algebras

Johan Granåker|ArXiv.org|Mar 12, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文利用带轮子的操演（wheeled operads）构建了单模 $L_{u}$-代数的同伦理论，证明了单模李代数的带轮子操演是科祖尔（Koszul）的，并通过余框构造显式地解析了它。关键贡献是一个上同调障碍——特征类的消失——用于判断能否将有限维 $L_{u}$-代数结构延拓为单模结构，其几何解释为一个同调向量场与不变测度。

ABSTRACT

We give a new short proof that the wheeled operad of unimodular Lie algebras is Koszul and use this to explicitly construct its minimal resolution. A representation of this resolution in a finite dimensional vector space V we call a unimodular L-infinity algebra. Such a structure corresponds to a homological vector field on V together with an invariant measure. We present explicit formulae for homotopy transferred structures, define the deformation complex and give a cohomological obstruction to the extension of an arbitrary structure of finite dimensional L-infinity algebra to a structure of unimodular L-infinity algebra.

研究动机与目标

• 开发单模李代数的同伦理论，由于单模性条件的存在，标准操演无法捕捉该结构。
• 证明带轮子操演 $\mathcal{U}\!\mathcal{L}\!\mathit{ie}$ 是科祖尔的，从而可通过余框构造显式构造其最小解析式。
• 将单模 $L_{\nu}$-代数定义并表征为该解析式的表示，将其与同调向量场及不变测度联系起来。
• 为将任意有限维 $L_{\nu}$-代数延拓为单模 $L_{\nu}$-代数提供一个上同调障碍——即特征类的消失。
• 将巴塔林-维利科夫斯基（Batalin-Vilkovisky）量化中的费曼积分解释为最小解析式的表示，赋予其同伦理论意义。

提出的方法

• 使用带轮子操演处理单模性条件，该条件涉及标准操演不允许的非平凡收缩。
• 通过余框构造证明带轮子操演 $\mathcal{U}\!\mathcal{L}\!\mathit{ie}$ 的科祖尔性，从而得到其最小解析式 $\mathcal{U}\!\mathcal{L}\!\mathit{ie}_{\infty}$。
• 利用解析式与微分分次李代数技术，给出单模 $L_{\infty}$-结构的同伦传递的显式公式。
• 将单模 $L_{\infty}$-代数的几何解释为一对 $(Q, \rho_f)$，其中 $Q$ 是一个同调向量场，$\rho_f$ 是在 $V$ 的 0 点形式邻域上的 $Q$-不变测度。
• 将单模 $L_{\infty}$-代数的形变复形定义为一个微分分次李代数，其马勒拉-卡坦（Maurer-Cartan）元素分类了结构的形变。
• 引入 $L_{\infty}$-代数的特征类，并证明其可延拓为单模结构当且仅当该类消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过操演方法一致地将李代数中的单模性条件纳入同伦理论？
• RQ2 单模李代数的带轮子操演是否为科祖尔的，从而允许显式构造其最小解析式？
• RQ3 单模 $L_{\infty}$-代数在微分几何与不变测度意义上的几何意义为何？
• RQ4 何种上同调障碍阻止了将有限维 $L_{\infty}$-代数延拓为单模 $L_{\infty}$-代数？
• RQ5 来自迈涅夫（Mnëv）的巴塔林-维利科夫斯基-贝西（Batalin-Vilkovisky）扩展 BF-理论量化中的费曼积分如何与单模李代数操演的最小解析式相关联？

主要发现

• 单模李代数的带轮子操演是科祖尔的，其最小解析式 $\mathcal{U}\!\mathcal{L}\!\mathit{ie}_{\infty}$ 可通过余框构造显式给出。
• 单模 $L_{\infty}$-代数等价于一对 $(Q, \rho_f)$，其中 $Q$ 是一个同调向量场，$\rho_f$ 是在 $V$ 的 0 点形式邻域上的 $Q$-不变测度。
• 单模 $L_{\infty}$-结构的同伦传递由涉及迭代括号与带符号的循环迹的显式公式给出，符号来自置换的符号。
• 单模 $L_{\infty}$-代数的形变复形是一个微分分次李代数，其马勒拉-卡坦元素分类了该结构的形变。
• $L_{\infty}$-代数可延拓为单模结构当且仅当其特征类消失，这提供了一个上同调障碍。
• 来自迈涅夫的巴塔林-维利科夫斯基-贝西（Batalin-Vilkovisky）量化扩展 BF-理论的费曼积分构成最小解析式 $\mathcal{U}\!\mathcal{L}\!\mathit{ie}_{\infty}$ 的一个表示，赋予其同伦理论意义。