[论文解读] Unique determination of several coefficients in a fractional diffusion(-wave) equation by a single measurement

Yavar Kian, Zhiyuan Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文通过在部分边界上的单个诺伊曼边界测量，建立了时间分数阶扩散(-波)方程中多个系数——如分数阶阶数、扩散系数、对流场和势项——的唯一确定性。作者通过结合复几何光学解与边界积分恒等式的新颖论证方法，证明了这些系数的唯一性，将反问题理论拓展至具有部分数据的分数阶PDE。

ABSTRACT

We consider the inverse problem of determining different type of information about a diffusion process, described by ordinary or fractional diffusion equations stated on a bounded domain, like the density of the medium or the velocity field associated with the moving quantities from a single boundary measurement. This properties will be associated with some general class of time independent coefficients that we recover from a single Neumann boundary measurement, on some parts of the boundary, of the solution of our diffusion equation with a suitable boundary input, located on some parts of the boundary.

研究动机与目标

• 解决从单个边界测量中识别时间分数阶扩散(-波)方程中多个物理系数的反问题。
• 将系数反问题的唯一性结果推广至具有部分边界数据的分数阶PDE。
• 从一个诺伊曼测量中同时实现分数阶阶数 α、密度 ρ、扩散系数 a、对流场 B 和势项 c 的唯一恢复。
• 将分析推广至黎曼流形情形，证明了从边界数据中唯一确定流形结构与度量。

提出的方法

• 采用专为具有卡波导导数的时间分数阶扩散方程设计的复几何光学解。
• 在边界的一个子集上使用单个诺伊曼边界测量，同时在另一子集上施加狄利克雷输入。
• 应用涉及解及其法向导数的积分恒等式，推导出系数之间的关系。
• 依赖于相关椭圆算子在流形上的唯一延拓性质与谱分析。
• 利用平稳相位法与渐近展开技术，从边界数据中提取系数信息。
• 将反问题约化为狄利克雷到诺伊曼映射的等价性，借助双曲型反问题的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从单个诺伊曼边界测量中唯一确定时间分数阶扩散方程中多个系数？
• RQ2 是否能够从部分边界数据中同时恢复分数阶阶数 α、扩散系数 a、对流场 B 和势项 c？
• RQ3 能否从分数阶扩散过程的边界测量中唯一重构底层黎曼流形结构与度量？
• RQ4 边界数据局限于边界子集时，如何影响分数阶PDE中系数识别的唯一性？

主要发现

• 分数阶阶数 α 可通过在部分边界上的单个诺伊曼边界测量唯一确定。
• 在适当的正则性与正则性假设下，分数阶扩散方程中的系数 ρ、a、B 和 c 可从一个边界测量中唯一识别。
• 在流形情形下，黎曼流形 (M,g) 与势项 c 可通过部分狄利克雷到诺伊曼映射唯一确定至等距同构。
• 证明依赖于复几何光学解的构造，以及从边界测量中导出的谱数据。
• 即使边界测量被限制在边界的一个子集上，作者仍建立了唯一性，克服了经典全边界数据假设的局限性。
• 结果将先前针对经典扩散（α=1）的唯一性结果推广至具有部分数据的分数阶设定。