[论文解读] Unique Ergodicity of Harmonic Currents on Singular Foliations of P2

John Erik Fornæss, Nessim Sibony|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文建立了在 ℙ² 上具有仅双曲奇点且无代数叶的全纯叶状结构上，正调和 (1,1)-当前的唯一遍历性。通过几何分析与调和当前理论，证明了由叶状结构定向的质量为一的调和当前的存在性与唯一性，从而表明其具有强遍历性质，并且其关联测度在全纯形变下保持连续。

ABSTRACT

Let F be a holomorphic foliation of P^2 by Riemann surfaces. Assume all the singular points of F are hyperbolic. If F has no algebraic leaf, then there is a unique positive harmonic $(1,1)$ current $T$ of mass one, directed by F. This implies strong ergodic properties for the foliation. We also study the harmonic flow associated to the current $T.$

研究动机与目标

• 建立在 ℙ² 上的全纯叶状结构上，存在且唯一存在一个质量为一的正调和 (1,1)-当前，且其方向由叶状结构决定。
• 研究此类叶状结构的遍历性质，特别是当它们不具有代数叶时的性质。
• 分析调和当前及其关联测度在叶状结构的全纯形变下的连续性。
• 证明调和当前在叶空间上诱导出唯一的不变测度，从而得出遍历性结果。
• 将调和当前理论扩展至 ℙ² 中的奇异全纯叶状结构，特别是在无代数叶的情况下。

提出的方法

• 利用作者先前工作中发展的调和当前理论，特别是关于具有奇点的层结构上存在调和当前的理论。
• 应用截面技术，将当前在局部表示为横截上正调和函数的积分。
• 运用哈纳克不等式，控制奇点附近叶上调和函数的增长与收敛性。
• 通过庞加莱定理对双曲奇点进行线性化，以分析局部动力学与一致估计。
• 通过在流盒中利用局部双全纯映射的推出比较，证明当前在全纯族下的连续性。
• 通过反证法证明遍历性，表明若测度非遍历，则存在一个非平凡的不变集合，其在集合本身及其补集上均具有正 |g_T|-测度，且在 ||T||-几乎处处的叶上成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个在 ℙ² 上仅具有双曲奇点且无代数叶的全息叶状结构是否都存在唯一的正调和 (1,1)-当前，且质量为一？
• RQ2 此类调和当前的遍历性质是什么？在何种条件下它是遍历的？
• RQ3 调和当前及其关联测度在叶状结构的全纯形变下如何变化？
• RQ4 能否证明在全息叶状结构族中，调和当前及其关联横截测度的连续性？
• RQ5 是否存在调和当前动力学的非平凡不变集合，抑或测度必然是遍历的？

主要发现

• 若所有奇点均为双曲奇点且无代数叶，则存在唯一一个质量为一的正调和 (1,1)-当前 T，其方向由叶状结构 F 所决定。
• 调和当前 T 诱导出唯一的横截测度 μ_T，且在 H(d) 中的全纯叶状结构族中，μ_T 关于 λ 连续。
• 除非存在一个不变集合 E，使得 E 及其补集在 ||T||-几乎处处的叶上均具有正 |g_T|-测度，则测度 μ_T 是遍历的。
• 在双曲奇点附近，对于全纯族中接近给定叶状结构的叶状结构，μ_T 的质量在全族中一致地小。
• 当前 T 满足局部关系 T ∧ ω₀ = 0，其中 ω₀ 是叶状结构的定义 1-形式，从而确认 T 沿着 F 的方向。
• 全息族中的调和当前族 (T_λ) 关于参数 λ 连续，其关联测度 μ_λ 也连续。