[论文解读] Uniqueness of Nonnegative Tensor Approximations

Qi Yang, Pierre Comon+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 45被引用 5

一句话总结

本文证明了非负张量的最佳非负秩-$ r $逼近几乎总是唯一的，并通过奇异判别式 $ D_{\text{sing}}(T) $ 提供了一个多项式准则，用于判断张量是否具有唯一的最佳秩-one逼近。证明了非唯一逼近构成一个超曲面，并将这些结果推广至对称张量和实张量，表明对于正张量，降维法（deflation）不成立。

ABSTRACT

We show that for a nonnegative tensor, a best nonnegative rank-r approximation is almost always unique, its best rank-one approximation may always be chosen to be a best nonnegative rank-one approximation, and that the set of nonnegative tensors with non-unique best rank-one approximations form an algebraic hypersurface. We show that the last part holds true more generally for real tensors and thereby determine a polynomial equation so that a real or nonnegative tensor which does not satisfy this equation is guaranteed to have a unique best rank-one approximation. We also establish an analogue for real or nonnegative symmetric tensors. In addition, we prove a singular vector variant of the Perron--Frobenius Theorem for positive tensors and apply it to show that a best nonnegative rank-r approximation of a positive tensor can never be obtained by deflation. As an aside, we verify that the Euclidean distance (ED) discriminants of the Segre variety and the Veronese variety are hypersurfaces and give defining equations of these ED discriminants.

研究动机与目标

• 建立非负张量的最佳非负秩-$ r $逼近唯一的条件。
• 将具有非唯一最佳秩-one逼近的张量集合表征为一个半代数超曲面。
• 推导出一个显式的多项式方程（$ D_{\text{sing}}(T) = 0 $），用于定义具有非单重归一化奇异值的张量。
• 证明对于正张量，降维法无法得到最佳非负秩-$ r $逼近。
• 将唯一性与判别式的结果推广至对称张量和实张量。

提出的方法

• 将非负张量形式化为 $ \mathbb{R}_+ $ 上锥的张量积中的元素，利用 $ \mathbb{R}_+ $ 上的半环上的半模。
• 将奇异判别式 $ D_{\text{sing}}(T) $ 定义为奇异特征多项式与其导数的结式。
• 使用代数几何工具，包括欧氏距离（ED）判别式理论，证明具有非单重奇异值的张量集合构成一个超曲面。
• 应用佩龙-弗罗贝尼乌斯定理的奇异向量变体，分析张量逼近中的正性和唯一性。
• 利用代数几何中的结果——特别是判别式在一般张量上非零——在非退化条件下证明唯一性。
• 证明对于实张量或非负张量，$ D_{\text{sing}}(T) \neq 0 $ 当且仅当存在唯一的最佳秩-one逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非负张量的最佳非负秩-$ r $逼近是唯一的？
• RQ2 何种代数簇描述了具有非唯一最佳秩-one逼近的非负张量集合？
• RQ3 能否推导出一个多项式准则，以判断给定张量是否具有唯一的最佳秩-one逼近？
• RQ4 降维法（即逐次秩-one逼近）是否可能得到正张量的最佳非负秩-$ r $逼近？
• RQ5 唯一性与判别式的结果如何推广至对称张量和实张量？

主要发现

• 对于非负张量，其最佳非负秩-$ r $逼近几乎总是唯一的。
• 具有非唯一最佳秩-one逼近的非负张量集合构成一个半代数集，且包含于一个超曲面中。
• 实张量或非负张量具有唯一的最佳秩-one逼近，当且仅当其奇异判别式 $ D_{\text{sing}}(T) \neq 0 $，且该判别式定义了一个超曲面。
• Segre流形的欧氏距离判别式是一个超曲面，且 $ D_{\text{sing}}(T) = 0 $ 给出了其定义方程。
• 由于奇异向量版本的佩龙-弗罗贝尼乌斯定理，正张量的最佳非负秩-$ r $逼近无法通过降维法获得。
• 对于对称张量，类似的唯一性与判别式结果成立，从而将理论扩展至对称情形。