[论文解读] Uniqueness of the nonlinear Schrödinger Equation driven by jump processes

Erika Hausenblas, Anne de Bouard+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过基于Kurtz的广义Yamada-Watanabe理论的抽象框架，建立了由无限活动的Lévy过程驱动的随机非线性Schrödinger方程的路径唯一性、弱唯一性以及强解的存在性。关键贡献在于证明了非局部紧致Poisson随机测度的SPDE的强唯一性，将经典唯一性结果扩展至非局部紧致设定之外。

ABSTRACT

In a recent paper by the first two named authors, existence of martingale solutions to a stochastic nonlinear Schrödinger equation driven by a Lévy noise was proved. In this paper, we prove pathwise uniqueness, uniqueness in law and existence of strong solutions to this problem using an abstract uniqueness result of Kurtz.

研究动机与目标

• 为由时间齐次Poisson随机测度驱动的随机非线性Schrödinger方程建立路径唯一性和弱唯一性。
• 将经典的Yamada-Watanabe理论推广至定义在非局部紧致波兰空间上的Poisson随机测度驱动的SPDE。
• 证明具有跳跃噪声的随机非线性Schrödinger方程强解的存在性。
• 克服先前结果中对Poisson噪声的局部紧致状态空间的限制。

提出的方法

• 改编Kurtz的抽象Yamada-Watanabe理论，该理论依赖于通用Skorokhod表示定理而非条件概率密度。
• 将随机非线性Schrödinger方程转化为Banach空间中由Poisson随机测度驱动的随机演化方程的抽象框架。
• 利用补偿Poisson随机测度和强度测度来定义温和解形式中的随机积分。
• 通过弱收敛拓扑证明波兰空间上整数值测度空间的必要可测性与拓扑性质。
• 证明在弱收敛拓扑下，序列紧集上整数值测度的空间是闭的且为波兰空间。
• 将抽象唯一性结果应用于SPDE的温和解形式，推导出路径唯一性与强解存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由无限活动Lévy过程驱动的随机非线性Schrödinger方程，当状态空间非局部紧致时，能否建立路径唯一性？
• RQ2 当底层Poisson随机测度定义在非局部紧致波兰空间上时，Kurtz的抽象Yamada-Watanabe理论是否适用于具有跳跃噪声的SPDE？
• RQ3 在什么条件下，随机非线性Schrödinger方程的弱解也是强解且路径唯一？
• RQ4 如何对Poisson随机测度空间进行拓扑化，以在非局部紧致设定下应用抽象随机分析工具？
• RQ5 在波兰空间上，若考虑序列紧集，整数值测度空间在弱收敛拓扑下是否为闭集且为波兰空间？

主要发现

• 即使状态空间非局部紧致，由时间齐次Poisson随机测度驱动的随机非线性Schrödinger方程仍具有路径唯一性。
• 已确立解的弱唯一性，确保所有弱解具有相同的有限维分布。
• 强解存在于该方程中，意味着解可在任意给定的概率基础空间上构造。
• 配备弱收敛拓扑的波兰空间上整数值测度空间为波兰空间，从而支持抽象随机分析工具的应用。
• Kurtz的Yamada-Watanabe理论的抽象框架成功应用于非局部紧致设定下的SPDE跳跃噪声，扩展了其适用范围。
• 证明依赖于弱收敛拓扑在整数值测度空间上的Borel可测性，该性质通过可数基开集与正则性论证得以确立。