[论文解读] Uniqueness results for the phase retrieval problem of fractional Fourier transforms of variable order
本文建立了基于可变阶次分数傅里叶变换（FrFT）的相位恢复唯一性结果，证明了函数可从其FrFT在特定阶次下的模测量值唯一恢复，唯一性因子为全局相位常数。对于具有结构的信号（如紧支撑函数、厄米函数或高斯函数的线性组合），仅需一个精心选择的FrFT阶次即可保证唯一性；而可数个阶次集合则可保证更广泛类别的唯一性恢复。
In this paper, we investigate the uniqueness of the phase retrieval problem for the fractional Fourier transform (FrFT) of variable order. This problem occurs naturally in optics and quantum physics. More precisely, we show that if $u$ and $v$ are such that fractional Fourier transforms of order $α$ have same modulus $|F_αu|=|F_αv|$ for some set $τ$ of $α$'s, then $v$ is equal to $u$ up to a constant phase factor. The set $τ$ depends on some extra assumptions either on $u$ or on both $u$ and $v$. Cases considered here are $u$, $v$ of compact support, pulse trains, Hermite functions or linear combinations of translates and dilates of Gaussians. In this last case, the set $τ$ may even be reduced to a single point (i.e. one fractional Fourier transform may suffice for uniqueness in the problem).
研究动机与目标
- 研究函数的相位是否可从其在一组阶次下的分数傅里叶变换模值中唯一恢复。
- 确定在何种函数类条件下（例如紧支撑、高斯函数、厄米函数等）唯一性成立，且唯一性因子为全局相位常数。
- 识别可保证特定信号类唯一性的最小FrFT阶次集合。
- 为紧支撑函数提供基于可数个FrFT测量值的重构公式。
提出的方法
- 通过利用有限阶整函数的性质及复分析技术，比较不同阶次下FrFT模值的差异。
- 应用复高斯函数线性组合的唯一性结果，通过比较相位函数泰勒展开的二阶与一阶项实现。
- 证明依赖于整函数的渐近行为及孤立零点原理，表明若线性组合恒为零，则其系数必然相互抵消。
- 关键技巧在于旋转复平面，以分离指数和中的主导项，若系数非零则导致矛盾。
- 根据信号结构区分不同情形：紧支撑、脉冲列、厄米函数及高斯函数的线性组合。
- 对于高斯函数，该方法表明：若在两个精心选择的FrFT阶次下模值匹配，则两函数的振幅与相位（至全局因子外）完全相同。
实验结果
研究问题
- RQ1在何种条件下，函数可由其在单个阶次下的分数傅里叶变换模值唯一确定？
- RQ2对于结构化信号类（如高斯函数的线性组合），单个分数傅里叶变换测量是否足以实现相位恢复？
- RQ3为保证紧支撑函数的唯一性，所需的最小FrFT阶次集合是什么？
- RQ4相位恢复的唯一性如何依赖于信号结构（如脉冲列或厄米函数）？
- RQ5能否基于可数个FrFT测量值，为紧支撑函数推导出重构公式？
主要发现
- 对于紧支撑函数，可数个FrFT阶次集合足以唯一恢复函数，唯一性因子为全局相位常数。
- 对于高斯函数的线性组合，仅需一个精心选择的FrFT阶次即可保证唯一性，具体取决于高斯函数的参数。
- 对于厄米函数和脉冲列信号，两个适当选择的FrFT阶次足以保证唯一性。
- 证明表明：若两个函数在一组阶次下的FrFT模值完全相同，则它们必相等，至多相差一个全局相位因子。
- 本文为紧支撑函数提供了基于可数个FrFT测量值的重构公式，表明其具有实际应用潜力。
- 结果支持分数傅里叶变换作为解决保罗伊相位恢复问题的有力候选方法，且有望改进现有迭代算法。
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