[论文解读] Unit groups of maximal orders in totally definite quaternion algebras over real quadratic fields

Qun Li, Jiangwei Xue+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 3

一句话总结

该论文通过分析单位群模中心，为实二次域上完全确定性四元数代数中的极大序提供了改进的类数和型数公式。它给出了关于任意有限非循环群 G 的、其约化单位群同构于 G 的极大序的共轭类数的显式公式，并将其应用于证明在特征 p ≠ 1 mod 24 的有限域上存在具有四元数代数 ℚ(√p) 作为自同态代数的超特殊阿贝尔曲面。

ABSTRACT

We study a form of refined class number formula (resp. type number formula) for maximal orders in totally definite quaternion algebras over real quadratic fields, by taking into consideration the automorphism groups of right ideal classes (resp. unit groups of maximal orders). For each finite noncyclic group $G$, we give an explicit formula for the number of conjugacy classes of maximal orders whose unit groups modulo center are isomorphic to $G$, and write down a representative for each conjugacy class. This leads to a complete recipe (even explicit formulas in special cases) for the refined class number formula for all finite groups. As an application, we prove the existence of superspecial abelian surfaces whose endomorphism algebras coincide with $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ in all positive characteristic $p ot\equiv 1\pmod{24}$.

研究动机与目标

• 通过结合单位群模中心的结构，为实二次域上完全确定性四元数代数中的极大序建立改进的类数和型数公式。
• 对所有约化单位群同构于给定有限非循环群 G 的极大序的共轭类进行分类。
• 推导出此类共轭类数的显式公式，并为每类提供代表元。
• 将改进的公式应用于证明在正特征 p ≢ 1 mod 24 时，存在具有自同态代数 ℚ(√p) 的超特殊阿贝尔曲面。

提出的方法

• 使用艾歇勒的迹公式，并结合 SO₃(ℝ) 的有限子群分类，分析约化单位群的结构。
• 定义并计算维涅拉斯单位指标，并将其与实二次域 F = ℚ(√d) 的基本单位联系起来。
• 为非循环有限群 G 构造最小 G-序，并分析其正规化子以实现极大序的分类。
• 研究 CM-扩张 K/F 及其单位群，以确定极大序可能的约化单位群。
• 分析 CM-域中的二次 OF-序，特别是 F(√−1)、F(√−3) 和 F(√−ε)，以对单位群结构进行分类。
• 将结果应用于 F = ℚ(√p) 和 H = H∞₁,∞₂ 的情形，计算改进的型数，并证明超特殊阿贝尔曲面的存在性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的有限非循环群 G，一个实二次域上完全确定性四元数代数中的极大序，其约化单位群同构于 G 的共轭类有多少个？
• RQ2 每个具有给定约化单位群 G 的极大序共轭类的显式代表元是什么？
• RQ3 在什么条件下，存在一个在 ℚ(√p) 上的 H∞₁,∞₂ 中的极大序，其约化单位群是非交换的？
• RQ4 在特征为 p 的有限域上，超特殊阿贝尔曲面的自同态代数何时等于 ℚ(√p)？
• RQ5 如何利用改进的类数和型数公式，在函数域上构造具有指定自同态代数的阿贝尔簇？

主要发现

• 对于任意有限非循环群 G，本文给出了一个显式公式，用于计算在实二次域上完全确定性四元数代数中，其约化单位群同构于 G 的极大序的共轭类数。
• 本文为每个具有给定约化单位群 G 的极大序共轭类构造了代表元，从而实现了完整的分类。
• 一个极大序的约化单位群是非交换的，当且仅当 p ≢ 1 mod 24，其中 F = ℚ(√p) 是基域。
• 在 ℚ(√p) 上的 H∞₁,∞₂ 中存在一个极大序，其约化单位群同构于 S₄ 或 A₅，当且仅当 p ≢ 1 mod 24。
• 对于每个满足 p ≢ 1 mod 24 的素数 p，存在一个在特征为 p 的域上的超特殊阿贝尔曲面，其自同态代数恰好为 ℚ(√p)。
• 在域 K = 𝔽p^ℓ^∞(t)（ℓ ≥ 1）上，当 p ≢ 1 mod 24 时，存在无穷多个超特殊阿贝尔曲面 X₀ 的 K-形式，其自同态代数同构于 ℚ(√p)。