[论文解读] Unitary Friedberg-Jacquet periods

Rui Chen, Wee Teck Gan|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文通過theta对应研究酉群上的酉Friedberg-Jacquet周期，證明了對離散系列表示，Hom空間的維數至多為一，並以L函數來確定其非零性。該工作將經典的GL(2n)結果推廣至酉設定，證明了定理1.1的酉類比，並部分支持了關於中心L值與周期非零性的全球猜想。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to study the unitary Friedberg-Jacquet period through their connection with the unitary Shalika period. Locally we study the multiplicity of unitary Friedberg-Jacquet periods for discrete series. Globally we prove one direction of a conjecture of Xiao-Zhang, stating that the non-vanishing of a global unitary Friedberg-Jacquet period implies the non-vanishing of the central value of the (twisted) standard L-function.

研究动机与目标

• 將經典的GL(2n)的Friedberg-Jacquet周期結果推廣至酉群設定。
• 利用theta對應，確定U_{2n}(F)的離散系列表示的酉Friedberg-Jacquet周期的維數。
• 建立全局推論：酉FJ周期的非零性意味著扭曲標準L函數的中心值非零。
• 提出一個關於酉群上鏡像Eisenstein級數的類比框架，利用Weil表示。

提出的方法

• 利用theta對應將酉Friedberg-Jacquet周期與酉Shalika周期關聯起來。
• 應用與斜Hermitian空間及共軛辛特徵相關的Weil表示局部理論。
• 利用酉群上Weil表示ω_{W,μ,ψ}的結構，定義並分析Shalika與FJ周期的Hom空間。
• 借助Beuzart-Plessis與Wan關於酉Shalika周期的已知結果，透過對偶性推導FJ周期的性質。
• 應用相對trace公式與內插方法，參考Xiao-Zhang與Leslie的工作。
• 使用全局zeta積分與展開技術，將週期積分化為L函數的特殊值。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於U_{2n}(F)的不可約離散系列表示π，Hom_{U_n × U_n}(π, χ₁ ⊗ χ₂)的維數為何，其中χ₁, χ₂為酉特徵？
• RQ2 在何種條件下，U_{2n}(F)上的酉Friedberg-Jacquet週期會消失或不消失？
• RQ3 全球酉FJ週期的非零性與標準L函數的中心值有何關係？
• RQ4 能否透過U_n的Weil表示構造出鏡像Eisenstein級數的酉類比？
• RQ5 局部Hom空間Sha_B(π, ω_{B,μ,ψ})與Lin_{W₀}(π, ω_{W₀,μ,ψ})的維數在多大程度上至多為1？

主要发现

• 對於任意U_{2n}(F)的不可約離散系列表示π與酉特徵χ₁, χ₂，Hom_{U_n × U_n}(π, χ₁ ⊗ χ₂)的維數至多為一。
• 酉Friedberg-Jacquet週期在π上的非零性由標準L函數L(π, 1/2)的非零性與外平方L函數L(s, π, ∧²)在s = 1處的極點所決定。
• 全球酉FJ週期僅在扭曲標準L函數L(Π, 1/2) ≠ 0時非零，支持了Xiao-Zhang的部分全球猜想。
• 透過theta對應，證明了酉FJ週期的局部Hom空間Lin_{W₀}(π, ω_{W₀,μ,ψ})至多為一維。
• 本文提出，酉Friedberg-Jacquet週期的類比Eisenstein級數應從U_n的Weil表示構造，類比於GL(V)情形的ω_{W,μ,ψ}。
• 本研究將經典GL(2n)結果（定理1.1）推廣至酉群設定，為離散系列表示建立了酉類比。