[论文解读] Unitary groups and augmented Cuntz semigroups of separable simple Z-stable C*-algebras

Huaxin Lin|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 33被引用 4

一句话总结

该论文证明了可分简单Z-稳定C*-代数的单位化中的酉群具有可消去性，且在连续尺度下，单位化的扩充Cuntz半群表现出严格比较和弱可消去性。通过一个关于扩充Cuntz半群中态射的新逼近结果，证明了在UHF类中，所有可分拟平凡的简单Z-稳定C*-代数的有理广义迹秩至多为一，从而消除了此前对稳定秩为一的假设。

ABSTRACT

Let $A$ be a separable simple exact ${\cal Z}$-stable $C^*$-algebra. We show that the unitay group of ${ ilde A}$ has the cancellation property. If $A$ has continuous scale, the Cuntz semigroup of $ ilde A$ has the strict comparison property and a weak cancellation property. Let $C$ be a 1-dimensional non-commutative CW complex with $K_1(C)=\{0\}.$ Suppose that $λ: { m Cu}^\sim(C) o { m Cu}^\sim(A)$ is a morphism in Cuntz semigroups which is strictly positive. Then there exists a sequence of homomorphisms $ϕ_n: C o A$ such that $\lim_{n o\infty}{ m Cu}^\sim(ϕ_n)=λ.$ This result leads to the proof that every separable amenable simple $C^*$-algebra in the UCT class has rationally generalized tracial rank at most one.

研究动机与目标

• 建立可分简单Z-稳定C*-代数的单位化中酉群与扩充Cuntz半群的可消去性与比较性质。
• 在UHF类中，消除对非单位元可分拟平凡简单Z-稳定C*-代数分类结果中稳定秩一的假设。
• 证明UHF类中所有可分拟平凡简单Z-稳定C*-代数的有理广义迹秩至多为一。
• 将Robert关于Cuntz半群中同态分类的结果推广至非单位元代数，且无需假设稳定秩一。

提出的方法

• 分析可分简单Z-稳定C*-代数$A$的单位化$\tilde{A}$的酉群，证明$U(\tilde{A})/U_0(\tilde{A}) = K_1(A)$。
• 在连续尺度假设下，研究Cuntz半群$\mathrm{Cu}(\tilde{A})$，证明其具有严格比较和弱可消去性质。
• 应用一个新逼近结果：对于从1维非交换CW复形$C$（满足$K_1(C)=0$）到$\mathrm{Cu}^\sim(A)$的态射$\lambda$，存在一列同态$\varphi_n: C \to A$，使得$\mathrm{Cu}^\sim(\varphi_n) \to \lambda$。
• 利用$\mathbf{Cu}$中严格正态态射$\lambda$的存在性，通过迹泛函的弱收敛与Cuntz半群收敛构造近似同态。
• 将结果应用于$C = \lim_{n\to\infty}(C_n, \iota_n)$的情形，其中$C_n \in \mathcal{I}_0$，构造映射序列$L_n: C \to A$与$h_n: C_n \to A$，满足范数与迹收敛。
• 利用同构$\Gamma: (K_0(C), T(C), r_C) \cong (K_0(A), T(A), r_A)$提升态射$\lambda$，并推导出逼近结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可分简单Z-稳定C*-代数$A$，其单位化$\tilde{A}$的酉群是否具有可消去性质？
• RQ2 当$A$具有连续尺度时，Cuntz半群$\mathrm{Cu}(\tilde{A})$是否具有严格比较与弱可消去性质？
• RQ3 对于任意从1维非交换CW复形$C$（满足$K_1(C)=0$）到$\mathrm{Cu}^\sim(A)$的严格正态态射$\lambda$，是否可由同态序列$\varphi_n: C \to A$逼近？
• RQ4 非单位元Z-稳定C*-代数的分类结果是否可推广至$A$不具有稳定秩一的情形？
• RQ5 UHF类中所有可分拟平凡简单Z-稳定C*-代数是否在不假设稳定秩一的前提下，具有有理广义迹秩至多为一？

主要发现

• 对于任意可分简单Z-稳定C*-代数$A$，其单位化$\tilde{A}$的酉群满足$U(\tilde{A})/U_0(\tilde{A}) = K_1(A)$，无论是否具有稳定秩一。
• 若$A$具有连续尺度，则$\mathrm{Cu}(\tilde{A})$同时具有严格比较与弱可消去性质。
• 对于任意严格正态态射$\lambda: \mathrm{Cu}^\sim(C) \to \mathrm{Cu}^\sim(A)$，存在一列同态$\varphi_n: C \to A$，使得$\mathrm{Cu}^\sim(\varphi_n) \to \lambda$在弱拓扑下收敛。
• 迹泛函满足$\lim_{n\to\infty} \sup_{\tau \in T(A)} |\tau(L_n(a)) - \lambda_T(\tau)(a)| = 0$对所有$a \in C$成立，确保了迹的弱收敛。
• 映射序列$L_n: C \to A$满足$\|L_n(ab) - L_n(a)L_n(b)\| \to 0$对所有$a,b \in C$成立，表明其具有近似乘法性。
• 作为推论，所有UHF类中可分拟平凡简单Z-稳定C*-代数$A$（具有连续尺度）满足$A \otimes Q$具有广义迹秩一，即使不假设稳定秩一。