[论文解读] Universal KZB equations I: the elliptic case

D. Calaque, B. Enriquez+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2007

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文在椭圆曲线带标记点的模空间上引入了一个通用的 Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard (KZB) 连接，构造了一个主丛上的平坦连接，其限制于环面上点的配置空间。该连接的单值性给出了 KZ 关联器与埃斯泰因形式的迭代积分之间的联系，并实现了简单李代数的典型 KZB 连接，通过谢列德尼克代数实现，从而建立了一个从 sl_n 上等变 D-模到谢列德尼克代数模的函子，并提供了显式的特征标计算。

ABSTRACT

We define a universal version of the Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard (KZB) connection in genus 1. This is a flat connection over a principal bundle on the moduli space of elliptic curves with marked points. It restricts to a flat connection on configuration spaces of points on elliptic curves, which can be used for proving the formality of the pure braid groups on genus 1 surfaces. We study the monodromy of this connection and show that it gives rise to a relation between the KZ associator and a generating series for iterated integrals of Eisenstein forms. We show that the universal KZB connection realizes as the usual KZB connection for simple Lie algebras, and that in the sl_n case this realization factors through the Cherednik algebras. This leads us to define a functor from the category of equivariant D-modules on sl_n to that of modules over the Cherednik algebra, and to compute the character of irreducible equivariant D-modules over sl_n which are supported on the nilpotent cone.

研究动机与目标

• 在亏格 1 上定义 KZB 连接的通用版本，将 KZ 连接推广到椭圆曲线。
• 通过该平坦连接的单值性，证明纯辫群在环面上的形式性。
• 通过谢列德尼克代数的表示实现通用 KZB 系统，并建立在幂零锥上的等变 D-模之间的函子关系。
• 计算 sl_n 上幂零锥上支持的不可约等变 D-模的特征标。

提出的方法

• 在椭圆曲线上点的配置空间上构造平坦连接，将其上拉至带标记点的椭圆曲线模空间 M_{1,[n]}。
• 将李代数 t_{1,n} 和 tbar_{1,n} 定义为配置空间基本群的单值李代数。
• 利用导子与群作用的相容性，将连接扩展至模空间，通过曲率消失确保平坦性。
• 通过涉及对数导数和关联器的微分方程的解，推导出单值表示。
• 通过从 tbar_{1,n} 到有理谢列德尼克代数的同态，将通用 KZB 系统实现为 A_{n-1} 型有理谢列德尼克代数的表示。
• 构造一个从 sl_n 的幂零锥上等变 D-模范畴到谢列德尼克代数模的函子，通过对称部分与球面对部分进行特征标计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在亏格 1 的带标记点椭圆曲线模空间上定义通用 KZB 连接？
• RQ2 通用 KZB 连接的单值性是什么？它与 KZ 关联器及埃斯泰因形式的迭代积分有何关系？
• RQ3 通用 KZB 连接如何实现简单李代数（特别是 sl_n）的标准 KZB 连接？
• RQ4 通用 KZB 系统能否通过谢列德尼克代数的表示实现？其结构是怎样的？
• RQ5 sl_n 上幂零锥上支持的不可约等变 D-模的特征标是什么？如何通过谢列德尼克代数函子计算？

主要发现

• 通用 KZB 连接是模空间 M_{1,[n]} 上主丛上的平坦连接，其限制于椭圆曲线上点的配置空间。
• 该连接的单值性给出从基本群 Γ_{1,[n]} 到 G_n ⋊ S_n 的同态，将 KZ 关联器与埃斯泰因形式的迭代积分联系起来。
• 通用 KZB 系统实现了 sl_n 的标准 KZB 连接，通过 A_{n-1} 型有理谢列德尼克代数实现。
• 定义了一个从 sl_n 的幂零锥上等变 D-模范畴到谢列德尼克代数模的函子，提供了显式的特征标计算。
• 通过谢列德尼克代数表示的球面对与对称部分，计算了幂零锥上支持的不可约等变 D-模的特征标。
• 建立了谢列德尼克代数表示 V_N 的不可约性与特征标公式，导出了精确的特征标表达式。