[论文解读] Universal recovery and P-Fidelity in von neumann algebras

Marius Junge, Nicholas LaRacuente|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文在冯诺依曼代数上为任意量子通道建立了通用恢复映射，推广了量子相对熵恢复，并通过次次调和性引入了p-保真度。证明了通道下相对熵非递减等价于存在L¹等距同构，利用Haagerup的逼近技术将量子信息结果推广至III型代数。

ABSTRACT

Scenarios ranging from quantum error correction to high energy physics use recovery maps, which try to reverse the effects of generally irreversible quantum channels. The decrease in quantum relative entropy between two states under the same channel quantifies information lost. A small decrease in relative entropy often implies recoverability via a universal map depending only the second argument to the relative entropy. We find such a universal recovery map for arbitrary channels on von Neumann algebras, and we generalize to p-fidelity via subharmonicity of a logarithmic p-fidelity of recovery. Furthermore, we prove that non-decrease of relative entropy is equivalent to the existence of an L 1 -isometry implementing the channel on both input states. Our primary technique is a reduction method by Haagerup, approximating a non-tracial, type III von Neumann algebra by a finite algebra. This technique has many potential applications in porting results from quantum information theory to high energy settings.

研究动机与目标

• 将此前仅在有限维量子系统中已知的通用恢复映射扩展至冯诺依曼代数上的任意量子通道。
• 利用非迹、III型冯诺依曼代数中的次次调和性，将保真度恢复的概念推广至p-保真度。
• 通过相对熵的非递减性，建立通道可恢复性的表征。
• 证明相对熵非递减等价于存在一个L¹等距同构，该同构在输入态上实现通道。
• 应用Haagerup的逼近方法，将有限维量子信息理论结果推广至高能物理相关的设定，如III型因子。

提出的方法

• 利用Haagerup的约化技术，将非迹、III型冯诺依曼代数逼近为有限维代数序列。
• 将有限维量子信息中的通用恢复映射构造应用于逼近代数，并将结果提升至原始代数。
• 引入恢复的对数p-保真度，并证明其次次调和性，以将恢复推广至p-保真度（p ∈ (0,1]）。
• 将通道下量子相对熵的单调性作为可恢复性的关键判据。
• 建立相对熵非递减与存在实现通道于输入态的L¹等距同构之间的等价性。
• 在冯诺依曼代数背景下，运用对偶性与迹类技术分析通道行为与恢复映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为冯诺依曼代数上的任意量子通道构造一个与输入态无关的通用恢复映射？
• RQ2 在非迹、III型冯诺依曼代数中，保真度恢复的概念如何推广至p-保真度？
• RQ3 对数p-保真度恢复中的次次调和性起什么作用？它如何实现通用恢复？
• RQ4 在何种条件下，量子相对熵在通道下保持非递减？这又对可恢复性意味着什么？
• RQ5 Haagerup的逼近方法如何用于将有限维量子信息结果推广至无限维、III型冯诺依曼代数？

主要发现

• 为冯诺依曼代数上的任意量子通道构造了通用恢复映射，其仅依赖于相对熵的第二个参数。
• 证明了恢复的对数p-保真度具有次次调和性，从而实现了p ∈ (0,1]下p-保真度的恢复推广。
• 证明了通道下相对熵非递减等价于存在一个L¹等距同构，该同构在输入态上实现通道。
• 通用恢复映射保持了通道的结构，并确保即使在非迹、III型设定下，相对熵的减少也最小化。
• Haagerup逼近方法的成功应用，将有限维量子信息结果推广至无限维冯诺依曼代数。
• 该框架为将量子信息理论工具引入高能物理背景（特别是涉及III型因子的情形）提供了基础。