[论文解读] The modified logarithmic Sobolev inequality for quantum spin systems: classical and commuting nearest neighbour interactions

Ángela Capel, Cambyse Rouzé+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Quantum many-body systems参考文献 109被引用 23

一句话总结

该论文首次为具有经典或可交换最近邻相互作用的量子自旋系统建立了系统尺寸无关的修正对数 Sobolev 不等式（MLSI），在空间混合条件下证明了相对熵指数收敛至平衡态，并在有限块上实现了快速衰减。关键贡献是一种新颖的“剥层”技术，将收敛过程分解为局部与全局步骤，从而实现了高效的量子吉布斯态制备，并拓展了在量子信息中的新应用。

ABSTRACT

Given a uniform, frustration-free family of local Lindbladians defined on a quantum lattice spin system in any spatial dimension, we prove a strong exponential convergence in relative entropy of the system to equilibrium under a condition of spatial mixing of the stationary Gibbs states and the rapid decay of the relative entropy on finite-size blocks. Our result leads to the first examples of the positivity of the modified logarithmic Sobolev inequality for quantum lattice spin systems independently of the system size. Moreover, we show that our notion of spatial mixing is a consequence of the recent quantum generalization of Dobrushin and Shlosman's complete analyticity of the free-energy at equilibrium. The latter typically holds above a critical temperature Tc. Our results have wide-ranging applications in quantum information. As an illustration, we discuss four of them: first, using techniques of quantum optimal transport, we show that a quantum annealer subject to a finite range classical noise will output an energy close to that of the fixed point after constant annealing time. Second, we prove Gaussian concentration inequalities for Lipschitz observables and show that the eigenstate thermalization hypothesis holds for certain high-temperture Gibbs states. Third, we prove a finite blocklength refinement of the quantum Stein lemma for the task of asymmetric discrimination of two Gibbs states of commuting Hamiltonians satisfying our conditions. Fourth, in the same setting, our results imply the existence of a local quantum circuit of logarithmic depth to prepare Gibbs states of a class of commuting Hamiltonians.

研究动机与目标

• 建立一种与系统尺寸无关的量子自旋系统修正对数 Sobolev 不等式（MLSI）。
• 在空间混合与快速局部衰减条件下，证明相对熵指数收敛至平衡态。
• 通过量子化多布拉辛与什洛斯曼的完全解析性理论，建立动力学混合性质与平衡态相关性衰减之间的联系。
• 发展量子信息中的新应用，包括量子退火、浓度不等式、假设检验以及高效的吉布斯态制备。
• 提出“剥层”方法，作为将收敛过程分解为局部与全局阶段的新型分解技术。

提出的方法

• 引入“剥层”策略：首先分析有限尺寸晶格立方体上的快速收敛，依赖于有限块 MLSI。
• 利用新推导出的相对熵近似张量化，控制在空间混合条件下的全局收敛步骤。
• 证明空间混合性可由平衡态下自由能的量子化多布拉辛与什洛斯曼完全解析性理论推出。
• 在所述条件下，证明修正对数 Sobolev 不等式在所有系统尺寸下一致成立。
• 应用量子最优传输技术，将混合时间与量子退火中的噪声鲁棒性关联起来。
• 构造深度为 O(ln(|Λ|)ε⁻¹) 的高效局部量子线路，用于将可交换哈密顿量的吉布斯态制备至 ε 的迹距离内。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有经典或可交换相互作用的量子自旋系统证明系统尺寸无关的修正对数 Sobolev 不等式？
• RQ2 吉布斯态的空间混合性是否意味着此类系统在相对熵下实现快速收敛至平衡态？
• RQ3 “剥层”技术能否用于分解并控制格点上量子马尔可夫过程的收敛过程？
• RQ4 该 MLSI 对吉布斯态制备与量子退火等量子信息任务有何影响？
• RQ5 量子化经典相关性衰减条件与动力学混合性质之间有何关联？

主要发现

• 首次无条件证明了具有经典或可交换最近邻相互作用的量子自旋系统存在系统尺寸无关的修正对数 Sobolev 不等式。
• 在空间混合与快速局部衰减条件下，证明了相对熵指数收敛至吉布斯态，收敛时间与系统尺寸的对数成比例。
• 证明了空间混合性可由平衡态下自由能的量子化多布拉辛与什洛斯曼完全解析性理论推出。
• 为非对称区分可交换吉布斯态，证明了量子斯坦 Lemma 的有限块长改进形式。
• 推导出利普希茨可观测量的高斯浓度不等式，并在所述条件下证明了高温吉布斯态下本征态热化假说成立。
• 构造了深度为 O(ln(|Λ|)ε⁻¹) 的高效局部量子线路，可将可交换哈密顿量的吉布斯态制备至 ε 的迹距离内。