[论文解读] Universal Translationally-Invariant Hamiltonians

Stephen Piddock, Johannes Bausch|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2020

Quantum many-body systems参考文献 27被引用 4

一句话总结

该论文在具有最近邻相互作用的二维qudit晶格上构建了一个平移不变的通用量子模拟器，利用历史态和铺砌技术将目标哈密顿量的谱嵌入模拟器的低能子空间。关键结果表明，仅使用平移不变的耦合，即可对任意局部哈密顿量实现任意精度的模拟，这意味着诸如多体局域化等复杂现象可在平移不变系统中涌现。

ABSTRACT

In this work we extend the notion of universal quantum Hamiltonians to the setting of translationally-invariant systems. We present a construction that allows a two-dimensional spin lattice with nearest-neighbour interactions, open boundaries, and translational symmetry to simulate any local target Hamiltonian---i.e. to reproduce the whole of the target system within its low-energy subspace to arbitrarily-high precision. Since this implies the capability to simulate non-translationally-invariant many-body systems with translationally-invariant couplings, any effect such as characteristics commonly associated to systems with external disorder, e.g. many-body localization, can also occur within the low-energy Hilbert space sector of translationally-invariant systems. Then we sketch a variant of the universal lattice construction optimized for simulating translationally-invariant target Hamiltonians. Finally we prove that qubit Hamiltonians consisting of Heisenberg or XY interactions of varying interaction strengths restricted to the edges of a connected translationally-invariant graph embedded in $\mathbb{R}^D$ are universal, and can efficiently simulate any geometrically local Hamiltonian in $\mathbb{R}^D$.

研究动机与目标

• 建立一个平移不变的通用模拟器哈密顿量，即使存在开放边界也成立。
• 证明平移不变系统可模拟任意局部哈密顿量，包括具有无序或局域化特性的哈密顿量。
• 使用历史态和铺砌技术构建一个通用模拟器，以编码计算过程和目标哈密顿量的参数。
• 证明在R^D中的平移不变图上，海森堡或XY相互作用可高效模拟R^D中的任意几何局部哈密顿量。
• 表明模拟精度随系统尺寸和反误差的多项式尺度变化，同时保持相互作用的平移不变性。

提出的方法

• 构建一个具有开放边界和平移不变的局部及最近邻相互作用的二维qudit晶格。
• 使用铺砌构造在左侧和底边编码晶格尺寸W和H为二进制数。
• 定义一个历史态哈密顿量，模拟从左下角开始的量子图灵机，沿标记的三角形和方形区域蜿蜒运行。
• 通过Solovay-Kitaev近似实现单量子比特旋转，将目标哈密顿量参数（例如耦合强度）编码到系统中。
• 通过微扰理论将目标哈密顿量嵌入为有效低能理论，使用投影哈密顿量将系统投影到期望子空间。
• 应用微扰小工具将历史态哈密顿量映射为通用模拟器哈密顿量 H_sim = Δ₁H₁ + Δ₂H₂，其中可调缩放参数为 Δ₁, Δ₂。

实验结果

研究问题

• RQ1 平移不变哈密顿量能否以任意精度模拟任意局部量子哈密顿量？
• RQ2 通常与无序系统相关的多体局域化现象，能否在平移不变系统中涌现？
• RQ3 是否可能仅使用二维晶格上的最近邻、平移不变相互作用构建通用模拟器？
• RQ4 模拟给定目标哈密顿量所需的最小资源成本（晶格尺寸、局部维度）是多少？
• RQ5 在R^D中的平移不变图上，海森堡或XY相互作用能否高效模拟R^D中的任意几何局部哈密顿量？

主要发现

• 在具有最近邻相互作用和开放边界的二维qudit晶格上，存在一个通用的平移不变模拟器哈密顿量 H_sim。
• 该模拟器可使用晶格尺寸 W×H = poly(Δ, 1/η, 1/ϵ, J_max) × 2^poly(n) 模拟任意局部目标哈密顿量 H_target，其中 n 为 H_target 中的qudit数量，精度为 ϵ。
• 缩放参数为 Δ₁ = W⁵H⁵ 和 Δ₂ = WH，确保有效目标哈密顿量的正确能量尺度。
• 该构造使用历史态技术和铺砌方法，将晶格尺寸和目标耦合参数编码到系统中。
• 有效低能哈密顿量以误差 ‖H̃_target − H_target‖ ≤ ϵ/2 近似 H_target，通过微扰小工具和Solovay-Kitaev近似实现。
• 在R^D中的平移不变图上，海森堡或XY相互作用可高效模拟R^D中的任意几何局部哈密顿量，证明了此类相互作用类型的 universality（普遍性）。