[论文解读] Universality for the distance in finite variance random graphs: Extended version

Henri van den Esker, Remco van der Hofstad+1 more|ArXiv.org|May 16, 2006

Complex Network Analysis Techniques参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文在一类广泛的有限方差随机图中建立了渐近图距离的普遍性，包括配置模型、广义随机图和期望度随机图。通过将这些模型与泊松随机图耦合，并证明围绕对数距离 $\log_\nu N$ 的波动具有紧性，本文表明，在度数的矩条件和容量的幂律尾部行为满足 $\tau > 3$ 的条件下，距离以 $\log_\nu N$ 的形式增长，其中 $\nu$ 由节点容量决定。该结果将先前的研究结果推广到具有有限方差度数的广泛模型类。

ABSTRACT

We generalize the asymptotic behavior of the graph distance between two uniformly chosen nodes in the configuration model to a wide class of random graphs. Among others, this class contains the Poissonian random graph, the expected degree random graph and the generalized random graph (including the classical Erdos-Renyi graph). In the paper we assign to each node a deterministic capacity and the probability that there exists an edge between a pair of nodes is equal to a function of the product of the capacities of the pair divided by the total capacity of all the nodes. We consider capacities which are such that the degrees of a node has uniformly bounded moments of order strictly larger than two, so that, in particular, the degrees have finite variance. We prove that the graph distance grows like \log_νN, where the νdepends on the capacities. In addition, the random fluctuations around this asymptotic mean \log_νN are shown to be tight. We also consider the case where the capacities are independent copies of a positive random Λwith \prob{Λ> x}\leq cx^{1-τ}, for some constant c and τ>3, again resulting in graphs where the degrees have finite variance. The method of proof of these results is to couple each member of the class to the Poissonian random graph, for which we then give the complete proof by adapting the arguments of the corresponding result for the configuration model.

研究动机与目标

• 建立具有有限方差度数的一类广泛随机图模型中图距离的普遍渐近行为。
• 将配置模型中的距离结果推广至广义随机图、期望度随机图和泊松随机图等模型。
• 证明两个均匀随机节点之间的图距离以 $\log_\nu N$ 的形式缩放，且波动具有紧性，其中 $\nu$ 取决于节点容量。
• 分析节点容量为独立同分布且具有重尾分布 $\mathbb{P}(\Lambda > x) \leq c x^{1-\tau}$（$\tau > 3$）的情形，确保度数具有有限方差。
• 通过将所有模型与泊松随机图耦合，完整证明结果，并改编和详尽展开 [13] 中的论证。

提出的方法

• 本文使用耦合论证，表明只要在泊松随机图（PRG）上成立，该距离结果便对模型类中的所有模型成立。
• 定义了一类广义随机图模型，其中节点 $i$ 与 $j$ 之间连边的概率为 $p_{ij} = h(\lambda_i \lambda_j / l_N)$，且满足当 $x \downarrow 0$ 时 $h(x) - x = \mathcal{O}(x^2)$，从而保证局部树状结构。
• 该方法依赖于将广义模型与 PRG 耦合，其中在给定节点容量 $\lambda_i$ 的条件下，边是条件泊松分布的，从而支持分支过程近似。
• 关键技术工具包括度数和容量的矩界、集中不等式，以及利用分支过程近似控制邻域增长。
• 该证明改编并完整展开 [13] 中的辅助引理，特别是关于邻域大小和度数分布方差的内容。
• 通过矩界和尾部估计，证明了围绕 $\log_\nu N$ 的波动具有紧性，其中 $\nu = \mathbb{E}[D(D-1)] / \mathbb{E}[D]$，即有效分支数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有限方差度数的一类广泛随机图中，图距离是否普遍缩放为 $\log_\nu N$？
• RQ2 配置模型中的距离结果能否推广至广义随机图和期望度随机图等模型？
• RQ3 节点容量在决定渐近距离缩放及其中波动方面起什么作用？
• RQ4 重尾容量（$\mathbb{P}(\Lambda > x) \leq c x^{1-\tau}$，$\tau > 3$）如何影响度数的方差和距离行为？
• RQ5 在给定假设下，$\log_\nu N$ 周围的波动紧性是否在该模型类中保持不变？

主要发现

• 两个均匀随机节点之间的图距离渐近地以 $\log_\nu N$ 的形式增长，其中 $\nu = \mathbb{E}[D(D-1)] / \mathbb{E}[D]$，且该结果在所考虑的模型类中具有普遍性。
• 在度数具有统一有界二阶以上矩的条件下，$\log_\nu N$ 周围的随机波动被证明具有紧性，即当 $N \to \infty$ 时不会发散。
• 对于具有 $\mathbb{P}(\Lambda > x) \leq c x^{1-\tau}$ 且 $\tau > 3$ 的独立同分布容量 $\Lambda$，度数具有有限方差，且距离仍以 $\log_\nu N$ 缩放，波动具有紧性。
• 耦合方法证明：只要在泊松随机图上成立，该距离结果便对模型类中所有模型成立，从而将问题简化为在 PRG 上证明该结果。
• 该证明完整提供了关于邻域增长和矩界等辅助引理的详细推导，而这些内容在先前工作中（特别是 [13]）中仅被简略提及。
• 结果证实了在有限方差度数假设下，广义随机图、期望度随机图和配置模型等模型中，对数距离缩放具有普遍性。