[论文解读] Univoque bases and Hausdorff dimension

Derong Kong, Wenxia Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文提供了对非整数基展开中唯一表示基（univoque bases）的新表征及其与豪斯多夫维数的关系。证明了当 q 经过一个唯一表示基时，具有唯一 q-展开的集合的豪斯多夫维数会发生显著变化，并通过证明在科莫尼克-洛雷蒂常数附近，具有恰好两个展开的基的集合具有正的局部豪斯多夫维数，解决了西多罗夫提出的问题。

ABSTRACT

Given a positive integer $M$ and a real number $q >1$, a \emph{$q$-expansion} of a real number $x$ is a sequence $(c_i)=c_1c_2\cdots$ with $(c_i) \in \{0,\ldots,M\}^\infty$ such that \[x=\sum_{i=1}^{\infty} c_iq^{-i}.\] It is well known that if $q \in (1,M+1]$, then each $x \in I_q:=\left[0,M/(q-1) ight]$ has a $q$-expansion. Let $\mathcal{U}=\mathcal{U}(M)$ be the set of \emph{univoque bases} $q>1$ for which $1$ has a unique $q$-expansion. The main object of this paper is to provide new characterizations of $\mathcal{U}$ and to show that the Hausdorff dimension of the set of numbers $x \in I_q$ with a unique $q$-expansion changes the most if $q$ "crosses" a univoque base. Denote by $\mathcal{B}_2=\mathcal{B}_2(M)$ the set of $q \in (1,M+1]$ such that there exist numbers having precisely two distinct $q$-expansions. As a by-product of our results, we obtain an answer to a question of Sidorov (2009) and prove that \[\dim_H(\mathcal{B}_2\cap(q',q'+δ))>0\quad extrm{for any}\quad δ>0,\] where $q'=q'(M)$ is the Komornik-Loreti constant.

研究动机与目标

• 表征满足 1 在数字集 {0, ..., M} 上具有唯一 q-展开的唯一表示基 q > 1。
• 研究当 q 经过一个唯一表示基时，具有唯一 q-展开的集合的豪斯多夫维数如何变化。
• 解决西多罗夫（2009）关于具有恰好两个展开的基的集合的局部豪斯多夫维数的问题。
• 通过展开差异的豪斯多夫维数和局部交集，建立 q 属于唯一表示集闭包的等价条件。
• 通过符号动力学和广义的斐波那契-莫尔斯序列，分析唯一表示集的结构，特别关注有限型不可约子移位。

提出的方法

• 将唯一表示集 $\mathcal{U}_q$ 定义为在 $[0, M/(q-1)]$ 中具有唯一 q-展开的实数集合，其中 $q > 1$。
• 使用自然投影 $\pi_{M+1}$ 将数字序列映射到实数，从而能够研究展开集合的豪斯多夫维数。
• 应用符号动力学和有限型子移位，特别是构造在状态 $\{\xi_n, \xi_n^-, \overline{\xi_n}, \overline{\xi_n^-}\}$ 上的不可约子移位 $X_A^{(n)}$，以模拟唯一表示展开。
• 利用广义的斐波那契-莫尔斯序列 $\theta = (\theta_i)$ 构造 $\Gamma_n'$ 中的序列，通过递归不等式和字典序排列，将这些序列与唯一表示基对应起来。
• 利用 $\dim_H \pi_{M+1}(X_A^{(n)}) = \frac{\log((1+\sqrt{5})/2)}{2^n p \log(M+1)} > 0$ 的事实，证明在某些基附近唯一表示集具有正维数。
• 应用 de Vries（2008）和 Komornik 等人（2007）关于维度函数 $q \mapsto \dim_H \mathcal{U}_q$ 的“魔鬼阶梯”行为的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以 $r > q$ 时差集 $\mathcal{U}_r' \setminus \mathcal{U}_q'$ 的豪斯多夫维数为依据，对 $\mathcal{U}(M)$ 中的唯一表示基 $q$ 给出新的表征？
• RQ2 当 q 经过一个唯一表示基时，具有唯一 q-展开的集合的豪斯多夫维数行为如何？
• RQ3 具有恰好两个不同展开的基的集合 $\mathcal{B}_2$ 在科莫尼克-洛雷蒂常数 $q'$ 附近是否具有正的局部豪斯多夫维数？
• RQ4 唯一表示集闭包 $\overline{\mathcal{U}}$ 与 $q$ 附近的 $\mathcal{U}_q'$ 和 $\mathcal{U}$ 的局部维数之间存在何种关系？
• RQ5 是否可以利用广义的斐波那契-莫尔斯序列和不可约有限型子移位分析唯一表示展开的结构？

主要发现

• 对于所有 $r > q$，$\pi_{M+1}(\mathcal{U}_r' \setminus \mathcal{U}_q')$ 的豪斯多夫维数为正，当且仅当 $q$ 是唯一表示基，从而建立了 $\mathcal{U}$ 的新表征。
• 对于所有 $r > q$，$\mathcal{U} \cap (q, r)$ 的豪斯多夫维数为正，当且仅当 $q$ 是唯一表示基，提供了基于局部维数的 $\mathcal{U}$ 的新表征。
• $\mathcal{B}_2 \cap (q', q' + \delta)$ 对任意 $\delta > 0$ 具有正的豪斯多夫维数，从而肯定地回答了西多罗夫（2009）的问题。
• 对于 $q \in \overline{\mathcal{U}} \setminus (\bigcup \{q_0^*\} \cup \{q'\})$，对所有 $p < q$，$\pi_{M+1}(\mathcal{U}_q' \setminus \mathcal{U}_p')$ 的豪斯多夫维数为正，提供了此类 $q$ 的新表征。
• 对于所有 $p < q$，$\mathcal{U} \cap (p, q)$ 的豪斯多夫维数为正，当且仅当 $q$ 属于 $\overline{\mathcal{U}} \setminus (\bigcup \{q_0^*\} \cup \{q'\})$，提供了判断是否属于唯一表示集闭包的局部维数准则。
• 子移位 $X_A^{(n)}$ 的投影维数为 $\frac{\log((1+\sqrt{5})/2)}{2^n p \log(M+1)} > 0$，该结果被用于证明在某些基附近唯一表示集的局部维数为正。