[论文解读] Unpredictable Strings

Marat Akhmet, Astrit Tola|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Evolutionary Algorithms and Applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文引入了不可预测字符串——即无法被可预测地扩展的有限符号序列——并以此定义有限字母表上的确定性不可预测序列。证明了长字符串的大数定律，表明在离散随机过程中存在不可数多个此类序列，并提出了第二条大数定律的假设，该假设类比于伯努利定理，通过MATLAB算法对不可预测字符串长度不断增加的伯努利过程进行数值模拟得到支持。

ABSTRACT

A novel notion of unpredictable strings is revealed and utilized to define deterministic unpredictable sequences on a finite number of symbols. We prove the first law of large strings for random processes in discrete time, which confirms that there exists the uncountable set of unpredictable realizations. The hypothesis on the second law of large strings is formulated, which is relative to the Bernoulli theorem. Theoretical and numerical backgrounds for the laws are provided.

研究动机与目标

• 将不可预测字符串与序列的概念形式化，作为随机动力学的确定性类比。
• 在具有有限状态空间的离散时间随机过程中，建立不可预测实现的不可数集合的存在性。
• 通过伯努利过程的数值模拟，研究此类序列的统计行为。
• 基于实证证据，提出类比于经典伯努利定理的第二条长字符串大数定律。
• 提供一种构造性MATLAB算法，用于生成具有逐步增加的不可预测字符串长度的序列。

提出的方法

• 将长度为 $k$ 的不可预测字符串定义为有限序列 $(a_s, a_{s+1}, ..., a_{s+k})$，其中 $a_k \neq a_{s+k}$，以确保在该块之后不会重复。
• 提出不可预测序列的两种等价定义：一种通过任意长的不可预测字符串（定义2.2），另一种通过返回时间与发散性（定义2.3）。
• 在紧致度量空间 $\Sigma_r$ 上使用符号动力学，其度量为 $d(\xi,\zeta) = \sum_{k=0}^\infty \frac{|\xi_k - \zeta_k|}{2^k}$，以证明其拓扑性质。
• 在 $\Sigma_r$ 上应用伯努利移位 $\sigma$，以分析不变结构并证明不可预测点的存在性。
• 采用递归算法（算法1）通过固定向量 $v_1, ..., v_r$（在标量情况下 $r=2$）构造具有不断增加不可预测字符串长度的序列。
• 通过 $m = 9 \times 10^5$ 的有限实现进行数值评估，追踪 $K(m)$（最长不可预测字符串的长度）、$\xi_{K(m)}$（此类最长字符串的最后一个位置索引）以及 $N(m)/m$（重叠不可预测字符串的比例）。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构造出具有类似于随机过程性质的确定性序列，特别是不可预测性与统计规律性？
• RQ2 在具有有限状态空间的离散时间过程中，不可预测序列的实现集合的基数是多少？
• RQ3 对于包含不可预测字符串的序列，是否存在类比于大数定律的统计规律？
• RQ4 如何算法化地生成具有逐步增加不可预测字符串长度的序列？
• RQ5 在有限实现中，不可预测字符串的出现频率是否渐近等于第二条长字符串大数定律所预测的期望概率？

主要发现

• 第一条长字符串大数定律被严格证明：在具有有限状态空间的离散时间随机过程中，存在不可数多个不可预测实现。
• 理论分析确认，不可预测序列的集合是不可预测轨道的闭包，并在移位动力学意义下是处处稠密的。
• 在 $p = 0.6$ 且 $m = 9 \times 10^5$ 的数值模拟中，$N(m)/m \approx 0.6$，支持第二条长字符串大数定律的假设。
• 最长不可预测字符串长度 $K(n)$ 随 $n$ 增加而增长，达到 $K(900000) = 28$，表明随时间推移不可预测性不断增强。
• 最长不可预测字符串最后一个出现位置的索引 $\xi_{K(n)}$ 随 $n$ 增大而增长，例如 $\xi_{K(900000)} = 874766$，表明其分布具有非平凡特性。
• 该算法成功生成了具有逐步增加不可预测字符串长度的序列，如构造出的29个符号及更长的序列所示。