[论文解读] Updating the error term in the prime number theorem

Tim Trudgian|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文通过改进黎曼ζ函数的零点自由区域，优化了素数定理中的误差项，从而得出了 $|\theta(x) - x|$ 和 $|\psi(x) - x|$ 的更紧致显式界。利用新的零点自由区域，其中 $R = 6.455$ 且 $B = 17$，作者建立了从 $x \geq 149$ 和 $x \geq 23$ 起有效的更优估计，推动了素数分布、等差数列、短区间以及拉马努金不等式方面的改进结果。

ABSTRACT

An improved estimate is given for $|θ(x) -x|$, where $θ(x) = \sum_{p\leq x} \log p$. Three applications are given: the first to arithmetic progressions that have points in common, the second to primes in short intervals, and the third to a conjecture by C. Pomerance.

研究动机与目标

• 改进切比雪夫函数 $\theta(x) = \sum_{p \leq x} \log p$ 的素数定理中显式误差项。
• 通过细化黎曼ζ函数的零点自由区域，收紧 $|\theta(x) - x|$ 和 $|\psi(x) - x|$ 的界。
• 将改进的误差估计应用于加强关于等差数列中素数、短区间以及拉马努金不等式的结论。
• 提供显式且可数值验证的界，扩展或超越此前工作（包括 Schoenfeld 和 Dusart 的结果）。

提出的方法

• 利用 Kadiri 的结果以及对黎曼假设在 $H = 3.061 \times 10^{10}$ 以下的验证高度，推导出 $\zeta(s)$ 的新零点自由区域。
• 利用改进的零点自由区域重新估计误差项 $\epsilon_0(x) = \sqrt{\frac{8}{17\pi}} X^{1/2} e^{-X}$，其中 $X = \sqrt{(\log x)/R}$ 且 $R = 6.455$。
• 通过解析估计与数值验证相结合，建立 $|\theta(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$ 对所有 $x \geq 149$ 成立，以及 $|\psi(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$ 对所有 $x \geq 23$ 成立。
• 利用 Faber 和 Kadiri 对小 $x$ 的 $|\psi(x) - x|$ 的界，并与新误差项结合，将有效性扩展至 $x \geq e^{25}$。
• 利用关系式 $\pi(x) - \textrm{li}(x) = \frac{\theta(x) - x}{\log x} + \int_2^x \frac{\theta(t) - t}{t \log^2 t} dt + \text{常数}$ 推导出 $|\pi(x) - \textrm{li}(x)|$ 的改进界。
• 将改进的界应用于加强关于 Pomerance 的 P-整数猜想以及涉及 $\pi(x)$ 的拉马努金不等式的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过细化黎曼ζ函数的零点自由区域来改进素数定理中的误差项？
• RQ2 在当前零点自由区域估计与黎曼假设的数值验证基础上，$|\theta(x) - x|$ 和 $|\psi(x) - x|$ 的最紧显式界是什么？
• RQ3 改进的误差界如何影响素数在短区间和等差数列中的分布结果？
• RQ4 改进的误差项能否用于加强关于 Pomerance 的 P-整数或涉及 $\pi(x)$ 的拉马努金不等式的结论？
• RQ5 Schoenfeld 的原始方法在结合现代零点自由区域结果后，能在多大程度上更新以获得更紧致的显式界？

主要发现

• 本文建立 $|\theta(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$ 对所有 $x \geq 149$ 成立，其中 $R = 6.455$，优于 Schoenfeld 的 $R_0 = 9.6459$。
• 不等式 $|\psi(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$ 对所有 $x \geq 23$ 成立，显著降低了此前结果的阈值。
• 改进的误差项导出：对所有 $x \geq 229$，有 $|\pi(x) - \textrm{li}(x)| \leq 0.2795 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp\left(-\sqrt{\frac{\log x}{6.455}}\right)$，优于 Dusart 的界。
• 短区间中素数存在的界得到改进：当 $x \geq e^{1383} \approx 3.2 \times 10^{600}$ 时，区间 $(x - x/\Delta, x]$ 中恒存在素数，其中 $\Delta = 212215384$，优于此前对 $x \geq e^{150}$ 的结果。
• 本文证明：若 $k$ 为 P-整数，则 $k < 10^{1805}$，优于 Hajdu、Saradha 与 Tijdeman 的先前结果 $k < 10^{3500}$。
• 利用改进的误差项，本文证明拉马努金不等式 $\pi(x)^2 < \frac{e x}{\log x} \pi(x/e)$ 对所有 $x \geq \exp(9658)$ 无条件成立，较此前结果有显著改进。