[论文解读] Use of Quantum Sampling to Calculate Mean Values of Observables and Partition Function of a Quantum System

Robert R. Tucci|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出了一种量子算法，通过两个子程序高效计算量子系统的可观测量的平均值和配分函数：(1) 使用多项式时间的量子相位估计算法与层析技术来计算可观测量的对角矩阵元；(2) 基于Szegedy算子的量子采样方法，相较于经典采样实现二次加速。关键贡献在于无需预先知晓哈密顿量本征值即可高效估计热态期望值，尽管采样步骤仍是计算瓶颈，但得益于量子加速。

ABSTRACT

We describe an algorithm for using a quantum computer to calculate mean values of observables and the partition function of a quantum system. Our algorithm includes two sub-algorithms. The first sub-algorithm is for calculating, with polynomial efficiency, certain diagonal matrix elements of an observable. This sub-algorithm is performed on a quantum computer, using quantum phase estimation and tomography. The second sub-algorithm is for sampling a probability distribution. This sub-algorithm is not polynomially efficient. It can be performed either on a classical or a quantum computer, but a quantum computer can perform it quadratically faster.

研究动机与目标

• 开发一种用于计算量子系统可观测量平均值与配分函数的量子算法。
• 利用量子相位估计算法与量子层析技术，实现对可观测量对角矩阵元的多项式时间高效计算。
• 为基于量子计算机的热态相关概率分布采样提供一个框架。
• 通过基于Szegedy的量子采样技术，实现与经典方法相比的二次加速。
• 避免对哈密顿量本征值的先验知识需求，区别于某些先前方法。

提出的方法

• 使用量子相位估计算法与量子层析技术，以多项式时间效率计算可观测量 O 的对角矩阵元 ⟨x|O|x⟩。
• 采用酉演化 U = e^{-iHΔt}，其对任意 Δt ≥ 0 均可被 p-编译，从而实现对哈密顿量作用的高效访问。
• 应用基于Szegedy算子的量子采样算法（如量子吉布斯采样），从概率分布 μ(x) ∝ ⟨x|e^{-βH}|x⟩ 中采样。
• 通过蒙特卡罗平均法对采样态 x(s) 进行估计，利用采样得到的 μ(x) 来估计 Zg = tr{g(H)e^{-βH}}，进而估计配分函数 Z 与期望值。
• 利用关系式 〈g(H)ρ〉 = Zg / Z 计算热态期望值，其中 ρ = e^{-βH}/Z。
• 采样步骤虽非 p-高效，但在量子计算机上实现时可获得二次加速。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用相位估计算法与层析技术，在多项式时间内在量子计算机上高效计算可观测量的对角矩阵元？
• RQ2 能否使用量子采样技术在不依赖哈密顿量本征值先验知识的前提下，估计配分函数与热态期望值？
• RQ3 量子采样在估计热平均值时的收敛速率与经典采样相比如何？
• RQ4 Szegedy算子在实现对玻尔兹曼型分布采样的二次加速中起到何种作用？
• RQ5 与先前用于计算配分函数与可观测量的量子算法相比，该算法在效率与假设条件上表现如何？

主要发现

• 利用量子相位估计算法与层析技术，可观测量对角矩阵元 ⟨x|O|x⟩ 可以以多项式时间效率计算，使该步骤在量子比特数上具有可扩展性。
• 尽管量子采样子程序本身并非 p-高效，但与经典采样相比实现了二次加速，收敛步数为 O(1/√δ)，其中 δ 为底层马尔可夫链的谱隙。
• 该算法可在不依赖哈密顿量 H 本征值先验知识的前提下，实现对配分函数 Z 与热态期望值 tr{g(H)ρ} 的估计。
• 该方法生成 |√Px⟩ 态，而非物理的玻尔兹曼态 ρ 或其纯化态，从而避免了退火时序引入的误差。
• 与 Temme 等人的算法相比，该方法在相同估计任务下收敛速度为 O(1/√δ)，相比其 O(1/δ) 实现了二次加速。
• 该算法比经典采样更高效，且避免了迭代退火的需要，与 Poulin 和 Wocjan 的方法相比，同样无需本征值先验知识。