[论文解读] Using Catalan words and a $q$-shuffle algebra to describe a PBW basis for the positive part of $U_q({\widehat {\mathfrak{sl}}}_2)$

Paul Terwilliger|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文使用Catalan词和q- shuffle代数，以闭式表达式描述了量子仿射代数 $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ 的正部分的Poincaré-Birkhoff-Witt (PBW) 基元素。它表明PBW基元素 $E_{n\delta+\alpha_0}$、$E_{n\delta+\alpha_1}$ 和 $E_{n\delta}$ 在单射代数同态 $\natural$ 下映射为特定的q-变形Catalan词和，揭示了其在q- shuffle积中的结构，并证明了相关元素 $C_n$ 在q- shuffle代数中彼此对易。

ABSTRACT

The positive part $U^+_q$ of $U_q({\widehat {\mathfrak{sl}}}_2)$ has a presentation with two generators $A,B$ that satisfy the cubic $q$-Serre relations. In 1993 I. Damiani obtained a PBW basis for $U^+_q$, consisting of some elements $\lbrace E_{nδ+α_0} brace_{n=0}^\infty$, $\lbrace E_{nδ+α_1} brace_{n=0}^\infty$, $\lbrace E_{nδ} brace_{n=1}^\infty$ that are defined recursively. Our goal is to describe these elements in closed form. We achieve this goal using Catalan words and a $q$-shuffle algebra.

研究动机与目标

• 为 $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ 的正部分 $U_q^+$ 中递归定义的PBW基元素提供一个闭式表达式。
• 描述这些基元素在单射代数同态 $\natural: U_q^+ \to \mathbb{V}$ 下的像，其中 $\mathbb{V}$ 是在生成元 $x,y$ 上的自由代数，并配备q- shuffle积。
• 将PBW基元素表示为Catalan词的和，从而通过q-变形词结构将量子群理论与组合学联系起来。
• 证明由Catalan词上q-变形和定义的元素 $C_n$ 在q- shuffle代数中彼此对易，利用PBW基在 $\natural$ 下的像。

提出的方法

• 在生成元 $x,y$ 上定义q- shuffle代数 $\mathbb{V}$，其乘积为 $u \star v = uv + q^{\langle u,v \rangle} vu$，其中 $\langle x,x\rangle = \langle y,y\rangle = 2$ 且 $\langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle = -2$。
• 利用Rosso的q- shuffle代数结构，定义单射代数同态 $\natural: U_q^+ \to \mathbb{V}$，满足 $A \mapsto x$，$B \mapsto y$。
• 将Catalan词定义为由 $x,y$ 构成的序列，使得在长度 $2n-1$ 之前，$\overline{x} = 1$，$\overline{y} = -1$ 的累积和非负，且在长度 $2n$ 时总和为零。
• 定义 $C_n = \sum_{\text{长度为 } 2n \text{ 的Catalan词}} a_1 \cdots a_{2n} \cdot [1]_q [1 + \overline{a}_1]_q \cdots [1 + \sum_{i=1}^{2n} \overline{a}_i]_q$，即Catalan词和的q-变形。
• 将 $\natural$ 作用于Damiani递归定义的PBW基元素，并将其像表示为 $q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n} x C_n$、$q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n} C_n y$ 和 $-q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n-1} C_n$（$n \geq 1$）。
• 从 $U_q^+$ 中 $\{E_{n\delta}\}_{n=1}^\infty$ 的已知对易性及 $\natural$ 的单射性，推导出 $\{C_n\}_{n=1}^\infty$ 在q- shuffle代数中的对易性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以闭式表达 $U_q^+(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ 中递归定义的PBW基元素 $E_{n\delta+\alpha_0}, E_{n\delta+\alpha_1}, E_{n\delta}$？
• RQ2 这些PBW基元素在通过 $\natural$ 实现的 $U_q^+$ 的q- shuffle代数结构下如何映射？
• RQ3 PBW基元素在自由代数 $\mathbb{V}$ 中的像具有何种组合结构？
• RQ4 $C_n$ 这类对Catalan词的q-变形和在q- shuffle代数中是否对易？
• RQ5 能否利用q- shuffle代数结构推导出 $C_n$ 元素之间的关系？

主要发现

• 在 $\natural$ 下，$E_{n\delta+\alpha_0}$ 的像是 $q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n} x C_n$（$n \geq 0$）。
• 在 $\natural$ 下，$E_{n\delta+\alpha_1}$ 的像是 $q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n} C_n y$（$n \geq 0$）。
• 在 $\natural$ 下，$E_{n\delta}$ 的像是 $-q^{-2n}(q - q^{-1})^{2n-1} C_n$（$n \geq 1$）。
• 定义为长度 $2n$ 的Catalan词上q-变形和的元素 $C_n$ 在q- shuffle代数 $\mathbb{V}$ 中彼此对易。
• 从量子Serre关系和PBW基结构出发，推导出 $xC_i$、$C_j y$ 和 $C_n$ 之间的q- shuffle代数关系，得到涉及q-变形和与系数的显式公式。
• q- shuffle代数提供了一个组合框架，通过q-变形Catalan词和实现了 $U_q^+(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ 的PBW基。