[论文解读] Vanishing of L-functions of elliptic curves over number fields

Chantal David, Jack Fearnley+1 more|ArXiv.org|Jun 1, 2004

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文利用随机矩阵理论预测在 $ℝ$ 上的椭圆曲线 $E$ 的扭曲 $L$-函数 $L_E(1,χ)$ 的消失现象，其中 $χ$ 是阶为素数 $k$ 的狄利克雷特征。该文猜想：当 $k=3$ 时，存在无穷多个此类特征使得中心值消失；而当 $k \geq 7$ 时，仅存在有限多个，$k=5$ 则处于发散的临界点。这些预测通过伯奇与斯温纳顿-戴尔猜想与 $E$ 在循环数域上的秩增长相关联。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve over $\mathbb{Q}$, with L-function $L_E(s)$. For any primitive Dirichlet character $χ$, let $L_E(s, χ)$ be the L-function of $E$ twisted by $χ$. In this paper, we use random matrix theory to study vanishing of the twisted L-functions $L_E(s, χ)$ at the central value $s=1$. In particular, random matrix theory predicts that there are infinitely many characters of order 3 and 5 such that $L_E(1, χ)=0$, but that for any fixed prime $k \geq 7$, there are only finitely many character of order $k$ such that $L_E(1, χ)$ vanishes. With the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture, those conjectures can be restated to predict the number of cyclic extensions $K/\mathbb{Q}$ of prime degree such that $E$ acquires new rank over $K$.

研究动机与目标

• 理解椭圆曲线 $E$ 在 $ℝ$ 上的阿贝尔扩张 $K/\mathbb{Q}$（阶为素数）上的秩如何增长。
• 研究扭曲 $L$-函数 $L_E(1,\chi)$ 在中心临界点消失的频率。
• 应用随机矩阵理论，预测阶为素数 $k$ 的特征下，此类消失扭曲的渐近分布。
• 将秩增长问题重新表述为：在度数为 $k$ 的循环扩张 $K/\mathbb{Q}$ 中，$E$ 获得新秩的数目。

提出的方法

• 使用模符号将特殊值 $L_E(1,\chi)$ 表示为依赖于特征 $\chi$ 的代数整数 $n_E(\chi)$ 的乘积形式。
• 通过嵌入 $ℂ$ 对代数整数 $n_E(\chi)$ 进行离散化，将其建模为格点。
• 应用凯廷与斯奈思的随机矩阵模型，利用随机矩阵的特征多项式，估计 $|L_E(1,\chi)|$ 较小的概率。
• 通过界定 $L_E(1,\chi)$ 的多个伽罗瓦共轭同时较小的联合概率，估计消失的概率。
• 利用所得的概率估计对所有导子 $\leq X$ 的特征求和，从而得出 $N_{E,k}(X)$（即消失扭曲的数量）的渐近猜想。
• 在伯奇与斯温纳顿-戴尔猜想下，将猜想的消失扭曲数量与 $E$ 在度数为 $k$ 的循环扩张 $K/\mathbb{Q}$ 中获得秩的数目相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于狄利克雷特征的哪些阶 $k$，存在无穷多个扭曲 $\chi$ 使得 $L_E(1,\chi) = 0$？
• RQ2 随着导子大小 $X$ 的增加，此类消失扭曲的数量的渐近增长速率如何？
• RQ3 $L_E(1,\chi)$ 的消失如何与 $E$ 在度数为 $k$ 的循环扩张 $K/\mathbb{Q}$ 上的秩增长相关？
• RQ4 为何在 $k=7$ 处行为发生变化，即仅预期存在有限多个消失扭曲？

主要发现

• 当 $k=3$ 时，消失扭曲的数量 $N_{E,3}(X)$ 满足 $\log N_{E,3}(X) \sim \frac{1}{2}\log X$，当 $X \to \infty$ 时，表明存在无穷多个此类扭曲。
• 当 $k=5$ 时，$N_{E,5}(X)$ 无界，但其增长速度慢于 $X$ 的任意正幂次，即对任意 $\epsilon > 0$，有 $N_{E,5}(X) \ll X^\epsilon$，表明存在无穷多个但稀疏的消失扭曲。
• 当 $k \geq 7$ 时，$N_{E,k}(X)$ 在 $X \to \infty$ 时有界，意味着仅存在有限多个此类消失扭曲。
• 随机矩阵模型预测，阶为 $k$ 的特征的消失概率衰减为 $\frac{\log^{(k-1)/8} m}{m^{(k-1)/4}}$，导致 $k \geq 7$ 时级数收敛，支持有界性。
• 对导子达两百万的克雷莫纳曲线，$k=3,5,7$ 的数值证据支持该猜想，显示随着 $k$ 增大，消失现象的稀少性增加。
• 在导子达两百万的曲线上，未发现 $k=11$ 的消失扭曲，与 $N_{E,k}(X)$ 对 $k \geq 7$ 有界的猜想一致。