[论文解读] Variants of the LLL Algorithm in Digital Communications: Complexity Analysis and Fixed-Complexity Implementation

Cong Ling, Wai Ho Mow+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 47被引用 10

一句话总结

本文提出并分析了用于数字通信中复数格的LLL算法变体，引入了具有$O(n^3\log n)$平均复杂度的有效LLL归约，以及两种固定复杂度实现——固定复杂度有效LLL和固定复杂度深度插入LLL，实现了硬件友好、恒定吞吐量的格解码，性能接近最大似然（ML）。

ABSTRACT

The Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) algorithm is the most practical lattice reduction algorithm in digital communications. In this paper, several variants of the LLL algorithm with either lower theoretic complexity or fixed-complexity implementation are proposed and/or analyzed. Firstly, the $O(n^4\log n)$ theoretic average complexity of the standard LLL algorithm under the model of i.i.d. complex normal distribution is derived. Then, the use of effective LLL reduction for lattice decoding is presented, where size reduction is only performed for pairs of consecutive basis vectors. Its average complexity is shown to be $O(n^3\log n)$, which is an order lower than previously thought. To address the issue of variable complexity of standard LLL, two fixed-complexity approximations of LLL are proposed. One is fixed-complexity effective LLL, while the other is fixed-complexity LLL with deep insertion, which is closely related to the well known V-BLAST algorithm. Such fixed-complexity structures are much desirable in hardware implementation since they allow straightforward constant-throughput implementation.

研究动机与目标

• 解决标准LLL算法在复数MIMO系统中计算复杂度高且可变的问题。
• 通过提出有效LLL归约，降低数字通信中格归约的理论复杂度。
• 通过固定复杂度近似实现，使格归约可硬件实现，支持恒定吞吐量。
• 在i.i.d.复高斯信道模型下，严格分析复数LLL的平均复杂度。
• 比较将复数基转换为实数形式时，复数LLL与实数LLL的性能和近似因子。

提出的方法

• 在MIMO信道的i.i.d.复高斯分布下，推导标准复数LLL算法的平均复杂度为$O(n^4\log n)$。
• 提出有效LLL归约，仅对连续的基向量对进行大小归约，将复杂度降低至$O(n^3\log n)$。
• 提出两种固定复杂度变体：固定复杂度有效LLL和固定复杂度深度插入LLL，两者均支持恒定吞吐量的硬件设计。
• 通过$\mathcal{F}(\mathbf{B})$和$\mathcal{F}'(\mathbf{B})$将复数基转换为实数基，分析复数LLL与实数LLL的关系，表明复数LLL归约基在Gram-Schmidt正交化下保持结构特性。
• 证明若复数基以参数$\delta$实现LLL归约，则其对应的实数形式$\mathbf{B}_{\text{R}}$以参数$\delta - 1/4$实现LLL归约。
• 比较实数与复数LLL的近似因子，表明$\alpha \geq \beta^2$，其中$\alpha = 1/(\delta - 1/2)$，$\beta = 1/(\delta - 1/4)$，说明复数LLL的近似因子通常更大，除非$\delta = 3/4$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在i.i.d.复高斯信道模型下，标准复数LLL算法的平均复杂度是多少？
• RQ2 是否可通过一种较弱形式的LLL归约——有效LLL归约——显著降低复杂度，同时仍保持格解码的足够性能？
• RQ3 如何设计LLL的固定复杂度近似，以支持MIMO系统中恒定吞吐量的硬件实现？
• RQ4 将复数基转换为实数形式时，复数LLL与实数LLL之间有何关系？这对Lovász条件和归约质量有何影响？
• RQ5 复数LLL与实数LLL的近似因子如何比较？在高维系统中，这对解码性能有何影响？

主要发现

• 在i.i.d.复高斯分布下，标准复数LLL算法的平均复杂度为$O(n^4\log n)$，这是该模型下的首次严格推导。
• 有效LLL归约实现了$O(n^3\log n)$的平均复杂度，比标准LLL降低了一个数量级，主要归因于减少了大小归约操作。
• 提出了固定复杂度有效LLL和固定复杂度深度插入LLL，支持恒定吞吐量的硬件实现，具有可预测的延迟。
• 当复数基以参数$\delta$实现LLL归约时，其对应的实数表示$\mathbf{B}_{\text{R}}$以参数$\delta - 1/4$实现LLL归约，归约质量得以保持。
• 复数LLL的近似因子在渐近意义上劣于实数LLL，除非$\delta = 3/4$，因为$\alpha \geq \beta^2$，其中$\alpha = 1/(\delta - 1/2)$，$\beta = 1/(\delta - 1/4)$。
• 尽管近似因子较大，复数LLL在低维情况下性能与实数LLL几乎相同，性能差异仅在$n \geq 10$时变得明显。