[论文解读] Variation in the number of points on elliptic curves and applications to excess rank

Steven J. Miller|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用 29

一句话总结

本文證明了米歇爾對一參數族橢圓曲線在 $\mathbb{Q}(T)$ 上的第二moment的界的嚴謹性，透過對族 $y^2 = x^3 + Tx^2 + 1$ 的顯式計算，顯示 $O(p^{3/2})$ 的誤差項是最佳的。此外，本文將此moment中的低階項與 $L$-函數的 $n$-level密度中的修正項連結，顯示其對有限導子數範圍內平均秩預測的影響。

ABSTRACT

Michel proved that for a one-parameter family of elliptic curves over Q(T) with non-constant j(T) that the second moment of the number of solutions modulo p is p^2 + O(p^{3/2}). We show this bound is sharp by studying y^2 = x^3 + Tx^2 + 1. Lower order terms for such moments in a family are related to lower order terms in the n-level densities of Katz and Sarnak, which describe the behavior of the zeros near the central point of the associated L-functions. We conclude by investigating similar families and show how the lower order terms in the second moment may affect the expected bounds for the average rank of families in numerical investigations.

研究动机与目标

• 證明米歇爾對橢圓曲線在模 $p$ 下點數的第二moment的 $O(p^{3/2})$ 界對一參數族是嚴謹的。
• 分析 $a_t(p)$ 的第二moment中低階項如何影響 $L$-函數的 $n$-level密度，特別是在中心點附近。
• 研究這些修正項如何影響在導子數有限的族中，平均解析秩之預測上界。
• 展示族 $y^2 = x^3 + Tx^2 + 1$ 的第二moment確實包含一個 $p^{3/2}$ 大小的修正項，從而確認米歇爾估計的嚴謹性。

提出的方法

• 使用高斯和展開來表達勒讓德符號，並透過指數和計算第二moment $A_{2,χ}(p) = \sum_{t \bmod p} a_t(p)^2$。
• 應用 Lefschetz-Grothendieck 追蹤公式與特徵和技術，分析 $t \bmod p$ 上的和。
• 識別出僅當 $cx^2 \equiv dy^2 \bmod p$ 時，第二moment才有非零貢獻，進而將和簡化為涉及單位根立方根與特徵和的型態。
• 透過 $x^3 \equiv 2 \bmod p$ 的解數 $n_{3,2,p}$ 及涉及 $4x^3 + 1$ 的特徵和，顯式計算該和。
• 使用 $1$-level密度與傅立葉分析來建模中心點附近零點的分佈，並納入來自第二moment的修正項。
• 透過將第二moment中的低階項納入密度模型，推導出一族中平均解析秩的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 米歇爾對橢圓曲線點數模 $p$ 的第二moment的 $O(p^{3/2})$ 界是否嚴謹？是否存在更大的 $p^{3/2}$ 項？
• RQ2 $a_t(p)$ 的第二moment中低階項如何影響 $L$-函數的 $1$-level密度與中心點附近零點的分佈？
• RQ3 這些低階修正項在導子數有限的橢圓曲線族中，對平均解析秩預測上界之影響有多大？
• RQ4 族 $y^2 = x^3 + Tx^2 + 1$ 的第二moment能否精確計算？其是否顯現出 $p^{3/2}$ 大小的修正項？

主要发现

• 族 $y^2 = x^3 + Tx^2 + 1$ 的第二moment精確為 $A_{2,\mathcal{E}}(p) = p^2 - n_{3,2,p}p - 1 + p\sum_{x \bmod p} \left(\frac{4x^3 + 1}{p}\right)$，確認米歇爾界之嚴謹性。
• 對於無限多個滿足 $p \equiv 1 \bmod 3$ 的質數 $p$，差值 $A_{2,\mathcal{E}}(p) - (p^2 - n_{3,2,p}p - 1)$ 位於大小為 $[a p^{3/2}, b p^{3/2}]$ 的區間內，證明 $p^{3/2}$ 項非零且為最佳。
• 第二moment中低階項 $-m_{\mathcal{E}}p$ 對平均解析秩上界有顯著貢獻，當 $m_{\mathcal{E}} = 1$ 且 $R \sim 10^{12}$ 時，貢獻高達 $1.03$，假設 $\sigma = 1$。
• 當 $1$-level密度僅知曉至 $\sigma = 1$ 時，修正項貢獻 $0.03$ 至平均秩上界，使其由 $r + \frac{1}{2}$ 提升至 $r + \frac{1}{2} + 1.03$。
• 若 $1$-level密度可知至 $\sigma = 2$，則 $\frac{1}{\sigma}$ 項貢獻 $0.5$，修正項貢獻 $0.02$，使上界為 $r + \frac{1}{2} + 0.52$，此更接近費米吉耶觀察到的上界 $r + \frac{1}{2} + 0.40$。
• 本研究指出，第二moment中的低階項會導致 $1$-level密度出現與族相關的修正項，進而影響有限導子數的預測，並破壞隨機矩陣模型中的普遍性。