[论文解读] Variation of Hodge structure and enumerating tilings of surfaces by triangles and squares

Vincent Koziarz, Duc-Manh Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 48被引用 10

一句话总结

本文通过将组合结构与霍奇结构的变体联系起来，建立了闭合定向曲面三角剖分和四边形剖分的渐近计数公式。利用霍奇理论中曲率与陈类的结果，证明了在顶点指标满足非整除性条件时，具有给定剖分类型的此类镶嵌数量按 $ m^{2g + |\rho| - 2} $ 增长，其中三角剖分的常数属于 $ \mathbb{Q} \cdot (\sqrt{3}\pi)^{2g + |\rho| - 2} $，四边形剖分的常数属于 $ \mathbb{Q} \cdot \pi^{2g + |\rho| - 2} $。

ABSTRACT

Let $S$ be a connected closed oriented surface of genus $g$. Given a triangulation (resp. quadrangulation) of $S$, define the index of each of its vertices to be the number of edges originating from this vertex minus $6$ (resp. minus $4$). Call the set of integers recording the non-zero indices the profile of the triangulation (resp. quadrangulation). If $\\kappa$ is a profile for triangulations (resp. quadrangulations) of $S$, for any $m\\in \\mathbb{Z}_{>0}$, denote by $\\mathscr{T}(\\kappa,m)$ (resp. $\\mathscr{Q}(\\kappa,m)$) the set of (equivalence classes of) triangulations (resp. quadrangulations) with profile $\\kappa$ which contain at most $m$ triangles (resp. squares). In this paper, we will show that if $\\kappa$ is a profile for triangulations (resp. for quadrangulations) of $S$ such that none of the indices in $\\kappa$ is divisible by $6$ (resp. by $4$), then $\\mathscr{T}(\\kappa,m)\\sim c_3(\\kappa)m^{2g+|\\kappa|-2}$ (resp. $\\mathscr{Q}(\\kappa,m) \\sim c_4(\\kappa)m^{2g+|\\kappa|-2}$), where $c_3(\\kappa) \\in \\mathbb{Q}\\cdot(\\sqrt{3}\\pi)^{2g+|\\kappa|-2}$ and $c_4(\\kappa)\\in \\mathbb{Q}\\cdot\\pi^{2g+|\\kappa|-2}$. The key ingredient of the proof is a result of J. Koll\\'ar on the link between the curvature of the Hogde metric on vector subbundles of a variation of Hodge structure over algebraic varieties, and Chern classes of their extensions. By the same method, we also obtain the rationality (up to some power of $\\pi$) of the Masur-Veech volume of arithmetic affine submanifolds of translation surfaces that are transverse to the kernel foliation.

研究动机与目标

• 确定 genus $ g $ 曲面在固定顶点指标剖分下，三角剖分与四边形剖分等价类的渐近增长速率。
• 在指标非整除性条件下，证明增长常数属于 $ \mathbb{Q} \cdot (\sqrt{3}\pi)^{2g + n - 2} $（三角剖分）与 $ \mathbb{Q} \cdot \pi^{2g + n - 2} $（四边形剖分）。
• 将计数问题与霍奇结构的变体及阿贝尔不变子流形在翻译曲面模空间中的几何联系起来。
• 证明与核 foliation 横截的算术阿贝尔子流形的马苏尔-维奇体积具有有理数倍（关于 $ \pi $ 的幂）的性质。

提出的方法

• 利用 J. Kollár 关于霍奇度量曲率与变体结构中向量丛扩张的陈类结果。
• 将镶嵌的计数与黎曼曲面上 $ k $-微分的几何联系起来，特别是与 $ \Omega^k\mathcal{M}_g(\underline{k}) $ 的 strata 相关。
• 通过上同调格点上的勒贝格测度诱导的马苏尔-维奇体积形式，在模空间上定义体积不变量。
• 在与核 foliation 横截的条件下，通过体积形式比值 $ \frac{d\mu^*_s}{d\mu} \in \mathbb{Q} $ 应用体积比较论证。
• 应用定理 4.1 证明射影化 stratum 的体积属于 $ \mathbb{Q} \cdot \pi^{2g + n - 2} $。
• 通过在 $ m $ 上的缩放，将镶嵌的渐近计数与体积渐近性结合，得出最终的增长速率与常数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 genus $ g $ 曲面在固定非零顶点指标剖分 $ \kappa $ 下，三角剖分数量的渐近增长速率是什么？
• RQ2 这类三角剖分的增长常数如何依赖于亏格与奇异顶点数？
• RQ3 在何种顶点指标条件下，增长常数属于 $ \mathbb{Q} \cdot (\sqrt{3}\pi)^{2g + n - 2} $？
• RQ4 能否证明翻译曲面模空间中算术阿贝尔子流形的马苏尔-维奇体积是有理数倍的 $ \pi^{2g + n - 2} $？
• RQ5 霍奇结构的变体在连接组合镶嵌计数与模空间中的几何体积之间起什么作用？

主要发现

• 在 $ \kappa $ 中无指标被 6 整除的条件下，具有剖分 $ \kappa $ 且三角形数不超过 $ m $ 的三角剖分数 $ \mathscr{T}(\kappa, m) $ 的渐近增长为 $ c_3(\kappa) m^{2g + n - 2} $，其中 $ c_3(\kappa) \in \mathbb{Q} \cdot (\sqrt{3}\pi)^{2g + n - 2} $。
• 同样地，四边形剖分数 $ \mathscr{Q}(\kappa, m) $ 的增长为 $ c_4(\kappa) m^{2g + n - 2} $，其中 $ c_4(\kappa) \in \mathbb{Q} \cdot \pi^{2g + n - 2} $，前提是无指标被 4 整除。
• 渐近常数来源于 $ k $-微分的射影化 stratum 的马苏尔-维奇体积，其值属于 $ \mathbb{Q} \cdot \pi^{2g + n - 2} $。
• 证明依赖于与核 foliation 横截的阿贝尔不变子流形上体积形式比值的有理性，该性质通过霍奇理论的曲率界建立。
• 该结果可推广至 $ \Omega\mathcal{M}_g(\underline{k}) $ 中算术阿贝尔子流形的马苏尔-维奇体积具有有理数倍（关于 $ \pi $）的性质，条件同上。
• 增长速率中的指数 $ 2g + n - 2 $ 与对应 stratum $ \Omega^k\mathcal{M}_g(\underline{k}) $ 的复维数一致，确认了几何一致性。