[论文解读] Variation of the Liouville measure of a hyperbolic surface

Francis Bonahon, Yaşar Sözen|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文建立了从双曲曲面的Teichmüller空间到 Hölder 地道测度流空间的Liouville当前映射的可微性。通过证明在度量变化下Liouville测度的导数属于地道测度流的横截Hölder分布，该研究为地道测度流空间提供了微分学工具，将经典Liouville测度扩展为Teichmüller理论中的可微结构。

ABSTRACT

For a compact riemannian manifold of negative curvature, the geodesic foliation of its unit tangent bundle is independent of the negatively curved metric, up to Holder bicontinuous homeomorphism. However, the riemannian metric defines a natural transverse measure to this foliation, the Liouville transverse measure, which does depend on the metric. For a surface S, we show that the map which to a hyperbolic metric on S associates its Liouville transverse measure is differentiable, in an appropriate sense. Its tangent map is valued in the space of transverse Holder distributions for the geodesic foliation.

研究动机与目标

• 建立从紧致双曲曲面 $ S $ 的Teichmüller空间 $ \mathcal{T}(S) $ 到其地道测度流空间 $ \mathcal{C}(S) $ 的Liouville当前映射 $ L: \mathcal{T}(S) \to \mathcal{C}(S) $ 的可微性。
• 证明在度量变化下Liouville测度的导数属于地道测度流的横截Hölder分布空间。
• 通过将切空间嵌入到Hölder地道测度流空间中，将经典Liouville测度扩展为Teichmüller空间上的可微结构。
• 给出切映射 $ T_mL $ 关于剪切上 cocycle 和基本覆盖的几何数据的表达式。

提出的方法

• 作者利用单位切丛 $ T^1S $ 的地道测度流，该流在Hölder双连续同胚意义下与双曲度量无关。
• 他们将Liouville当前 $ L_m $ 定义为由双曲度量 $ m $ 诱导的地道测度流的横截测度。
• 通过分析 $ L_m $ 沿 $ \mathcal{T}(S) $ 中可微曲线 $ m_t $ 的变化，将导数 $ \frac{d}{dt}L_{m_t}\big|_{t=0} $ 计算为测度列的极限。
• 通过证明涉及剪切上 cocycle $ \dot{\sigma}_0 $ 和几何系数 $ C_0(\varphi, T) $ 的级数收敛，表明该导数定义了一个Hölder地道测度流。
• 关键技术工具是利用指数衰减项，在基本覆盖 $ \widetilde{S} $ 中比较不同度量下的距离与角度。
• 他们应用控制收敛定理和一致收敛估计，以证明积分号下求导的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 映射 $ L: \mathcal{T}(S) \to \mathcal{C}(S) $，将每个双曲度量映射到其Liouville当前，是否可微？
• RQ2 在双曲度量变化下，Liouville当前的导数具有何种性质？
• RQ3 该导数能否表示为基本覆盖中测地线空间上的Hölder分布？
• RQ4 切映射 $ T_mL $ 与测地线拉伸的剪切上 cocycle 有何关系？
• RQ5 切映射 $ T_mL $ 在基度量 $ m \in \mathcal{T}(S) $ 上是否连续？

主要发现

• Liouville当前映射 $ L: \mathcal{T}(S) \to \mathcal{C}(S) $ 在 $ \mathcal{T}(S) $ 的每一点 $ m \in \mathcal{T}(S) $ 处可微，其导数取值于Hölder地道测度流空间 $ \mathcal{H}(S) $。
• 切映射 $ T_mL: T_m\mathcal{T}(S) \to \mathcal{H}(S) $ 是线性的，且关于 $ m $ 连续。
• 导数 $ T_mL(\dot{m}) $ 由公式 $ T_mL(\dot{m})(\varphi) = \sum_T \dot{\sigma}_0(T) C_0(\varphi, T) $ 显式给出，其中 $ \dot{\sigma}_0 $ 为剪切上 cocycle，$ C_0(\varphi, T) $ 为几何系数。
• 定义导数的级数在 $ \mathcal{T}(S) $ 的紧子集上一致收敛，确保了切映射的连续性。
• 该导数在 $ \pi_1(S) $ 作用下不变，确认其在曲面上定义了一个良定义的Hölder地道测度流。
• 该结果将经典Liouville测度扩展为Teichmüller空间上的可微结构，使得地道测度流空间上的微分几何成为可能。