[论文解读] Variational principles for circle patterns

Boris Springborn|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 13

一句话总结

本文通过基于圆半径的凸变分原理，建立了常曲率曲面上圆图案的存在性与唯一性定理。通过勒让德变换推导出新的变分原理，将之与科隆·德·弗尔迪耶尔、布雷加、里文和莱邦的已有泛函联系起来，并提供了用于可视化的计算实现，其应用包括斯坦尼茨关于多面体几何实现性的定理。

ABSTRACT

A Delaunay cell decomposition of a surface with constant curvature gives rise to a circle pattern, consisting of the circles which are circumscribed to the facets. We treat the problem whether there exists a Delaunay cell decomposition for a given (topological) cell decomposition and given intersection angles of the circles, whether it is unique and how it may be constructed. Somewhat more generally, we allow cone-like singularities in the centers and intersection points of the circles. We prove existence and uniqueness theorems for the solution of the circle pattern problem using a variational principle. The functionals (one for the euclidean, one for the hyperbolic case) are convex functions of the radii of the circles. The analogous functional for the spherical case is not convex, hence this case is treated by stereographic projection to the plane. From the existence and uniqueness of circle patterns in the sphere, we derive a strengthened version of Steinitz' theorem on the geometric realizability of abstract polyhedra. We derive the variational principles of Colin de Verdière, Brägger, and Rivin for circle packings and circle patterns from our variational principles. In the case of Brägger's and Rivin's functionals. Leibon's functional for hyperbolic circle patterns cannot be derived directly from our functionals. But we construct yet another functional from which both Leibon's and our functionals can be derived. We present Java software to compute and visualize circle patterns.

研究动机与目标

• 在具有指定交角和类似锥形奇点的曲面上，建立圆图案存在性与唯一性的定理。
• 为欧几里得与双曲几何中的圆图案，构建基于圆半径凸泛函的变分框架。
• 通过立体投影将变分方法扩展至球面情形，以应对球面泛函的非凸性。
• 利用勒让德变换，从统一的变分基础推导并统一已知泛函（科隆·德·弗尔迪耶尔、布雷加、里文、莱邦）。
• 提出一种基于Java软件的计算工具，用于基于所推导的变分原理构建并可视化圆图案。

提出的方法

• 在欧几里得与双曲情形下，定义圆半径上的凸泛函，其中临界点对应于圆图案问题的解。
• 通过立体投影处理球面情形，因为直接基于半径的泛函不具备凸性。
• 对欧几里得、双曲与球面泛函应用勒让德变换，推导出以角度而非半径表示的新变分原理。
• 几何上将变换后的泛函解释为三维双曲空间中双曲多面体的体积。
• 构建一个新泛函，从中可推导出莱邦与作者的双曲泛函，并通过对莱邦泛函进行逆勒让德变换，推导出双曲圆图案的新变分原理。
• 实现一个基于Java的软件系统，根据所推导的变分原理计算并可视化圆图案。

实验结果

研究问题

• RQ1 在常曲率曲面上，具有指定交角的圆图案在何种条件下存在且唯一？
• RQ2 能否为欧几里得与双曲圆图案构造基于圆半径凸泛函的变分原理？
• RQ3 非凸的球面泛函应如何处理？立体投影在此情境中起何种作用？
• RQ4 已知泛函（如布雷加、里文、莱邦的）在多大程度上可从统一的变分框架中推导而出？
• RQ5 勒让德变换后的泛函具有何种几何解释，特别是其与双曲多面体体积的关系如何？

主要发现

• 通过欧几里得与双曲情形下的凸变分原理，证明了具有指定交角和类似锥形奇点的圆图案的存在性与唯一性。
• 通过立体投影处理球面情形，从而导出斯坦尼茨关于抽象多面体几何实现性定理的强化版本。
• 布雷加与里文的泛函通过勒让德变换从作者的欧几里得泛函中导出，变换后的变量为角度而非半径。
• 勒让德变换后的双曲与球面泛函被几何解释为三维双曲空间中多面体的体积。
• 构建了一个新泛函，统一了作者与莱邦的双曲泛函；对莱邦泛函进行逆勒让德变换，导出了双曲圆图案的新变分原理。
• 提供了一个基于理论框架的Java软件实现，用于计算并可视化圆图案。