[论文解读] Variational Quantum Linear Solver: A Hybrid Algorithm for Linear Systems

Carlos Bravo-Prieto, Ryan LaRose+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 31

一句话总结

该论文提出了一种变分量子-经典算法来求解线性系统，通过将计算负担转移到经典优化中，降低了电路深度。该算法基于 |b⟩ 与 A|x⟩ 之间的重叠定义代价函数，该重叠与解的精度 ϵ 直接相关，并展示了在 1/ϵ 和 κ（条件数）上的高效缩放，成功在 Rigetti 的量子硬件上实现了 32×32 系统的求解。

ABSTRACT

Solving linear systems of equations is central to many engineering and scientific fields. Several quantum algorithms have been proposed for linear systems, where the goal is to prepare $|x angle$ such that $A|x angle \propto |b angle$. While these algorithms are promising, the time horizon for their implementation is long due to the required quantum circuit depth. In this work, we propose a variational hybrid quantum-classical algorithm for solving linear systems, with the aim of reducing the circuit depth and doing much of the computation classically. We propose a cost function based on the overlap between $|b angle$ and $A|x angle$, and we derive an operational meaning for this cost in terms of the solution precision $\epsilon$. We also introduce a quantum circuit to estimate this cost, while showing that this cost cannot be efficiently estimated classically. Using Rigetti's quantum computer, we successfully implement our algorithm up to a problem size of $32 imes 32$. Furthermore, we numerically find that the complexity of our algorithm scales efficiently in both $1/\epsilon$ and $\kappa$, with $\kappa$ the condition number of $A$. Our algorithm provides a heuristic for quantum linear systems that could make this application more near term.

研究动机与目标

• 为解决现有量子线性系统算法因电路深度过高而导致的实现时间过长的问题。
• 通过将部分计算卸载到经典优化中，降低量子电路深度。
• 开发一个在解的精度 ϵ 方面具有实际意义的代价函数。
• 实现在含噪声中等规模量子（NISQ）设备上的近期可行性。
• 在 Rigetti 的量子处理器上，通过实验验证 32×32 线性系统的可行性。

提出的方法

• 该算法使用变分量子线路准备 |x⟩，使得 A|x⟩ 接近 |b⟩。
• 基于重叠 ⟨b|A|x⟩ 定义代价函数，该函数量化了目标解与计算解之间的保真度。
• 代价函数与解的精度 ϵ 直接关联，为优化提供了有意义的度量。
• 设计了一条量子线路以估计代价函数，该估计无法被经典方法高效模拟。
• 通过经典优化最小化代价函数，以迭代方式改进量子态 |x⟩。
• 数值验证表明，该方法在 1/ϵ 和矩阵 A 的条件数 κ 上均表现出高效缩放。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合量子-经典算法是否能在保持解精度的同时降低量子线性系统求解的电路深度？
• RQ2 基于重叠的代价函数在解精度 ϵ 方面具有何种实际意义？
• RQ3 该代价函数是否能在量子计算机上高效估计，但无法被经典方法高效模拟？
• RQ4 该算法在解精度 ϵ 和矩阵条件数 κ 方面的缩放特性如何？
• RQ5 当前 NISQ 设备上实验实现的最大问题规模是多少？

主要发现

• 所提出的算法成功在 Rigetti 的量子硬件上实现了 32×32 问题规模的线性系统求解。
• 代价函数的实际意义与解的精度 ϵ 直接关联，从而实现了有意义的优化。
• 用于代价函数估计的量子线路无法被经典方法高效模拟，凸显了该部分的量子优势。
• 数值结果表明，该算法的复杂度在 1/ϵ 和条件数 κ 上均表现出高效缩放。
• 该算法在量子资源使用与经典计算之间实现了实用的权衡，使线性系统求解在近期设备上更具可行性。