[论文解读] Near-term quantum algorithms for linear systems of equations

Hsin-Yuan Huang, Kishor Bharti+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 58

一句话总结

本论文研究近端量子算法求解 Ax=b，提出带 Ansätz 树的变分量子态的经典组合（CQS）以保证解的存在性，并探索变分景观及潜在的平坦区。

ABSTRACT

Solving linear systems of equations is essential for many problems in science and technology, including problems in machine learning. Existing quantum algorithms have demonstrated the potential for large speedups, but the required quantum resources are not immediately available on near-term quantum devices. In this work, we study near-term quantum algorithms for linear systems of equations of the form $Ax = b$. We investigate the use of variational algorithms and analyze their optimization landscapes. There exist types of linear systems for which variational algorithms designed to avoid barren plateaus, such as properly-initialized imaginary time evolution and adiabatic-inspired optimization, suffer from a different plateau problem. To circumvent this issue, we design near-term algorithms based on a core idea: the classical combination of variational quantum states (CQS). We exhibit several provable guarantees for these algorithms, supported by the representation of the linear system on a so-called Ansatz tree. The CQS approach and the Ansatz tree also admit the systematic application of heuristic approaches, including a gradient-based search. We have conducted numerical experiments solving linear systems as large as $2^{300} imes 2^{300}$ by considering cases where we can simulate the quantum algorithm efficiently on a classical computer. These experiments demonstrate the algorithms' ability to scale to system sizes within reach in near-term quantum devices of about $100$-$300$ qubits.

研究动机与目标

• 将求解线性系统作为一个实际的近端量子计算任务来动机说明。
• 评估变分量子算法及其在 Ax=b 上的优化景观。
• 识别变分方法中的平台现象（plateau）并提出 CQS 框架作为补救。
• 引入 Ansätz 树的概念并在特定条件下证明恢复解的保证。
• 通过大规模有效系统尺寸的数值仿真展示可扩展性，并与现有量子方法进行比较。

提出的方法

• 分析基本变分算法和两种 Ansätze：不依赖（硬件高效）及交替算子（A− 与 A+b 相关） Ansätze。
• 定义损失函数：L_R(x)=||Ax-|b>||^2, L_T(x)=1/2||x||^2+||Ax-|b>||^2，以及涉及构造的 H(1) 的基于哈密顿量的损失 L_H(|x>)。
• 讨论优化策略：VQE、虚时间演化、类 Adiabatic 辅助优化（AAVQE）。
• 引入 Classical Combination of Variational Quantum States（CQS）以及 Ansatz 树，通过经典方式组合量子态以提高解的覆盖度。
• 提供一个梯度展开的启发式方法来裁剪和扩展 Ansatz 树。
• 展示 CQS 框架如何给出可证明的保证，并与 Tikhonov 正则化回归相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 近端量子设备是否能够高效求解 Ax=b，适用于实际规模较大的结构化线性系统？
• RQ2 Ax=b 的变分景观是否展现出枯竭平坦区或其他在 NISQ 硬件上阻碍优化的区域？
• RQ3 将多个变分态通过经典方式组合（CQS）并配合 Ansatz 树，是否能提供保证和相对于标准 VQE 的实际优点？
• RQ4 在给定假设下，CQS/Ansatz 树方法在恢复 A 与 b 的真实解方面有哪些保证和极限？
• RQ5 这些方法在实际大规模有效系统尺寸上如何扩展，并与现有的量子线性系统方法相比？

主要发现

• 对于某些结构化线性系统，变分方法可能遇到类似平台的优化景观，从而阻碍使用标准 Ansätze 进行优化。
• 适当初始化的虚时间演化和受 Adiabatic 启发的优化并不能普遍解决平台问题；需要其他途径。
• Classical Combination of Variational Quantum States（CQS）结合 Ansatz 树可以提供可证明的保证，并使基于梯度的启发式方法能够选择有用的态组合。
• 数值实验通过经典仿真模拟求解高达 2^300 × 2^300 的线性系统，表明在 ~100–300 量子比特的近端设备上具有潜在的可扩展性。
• CQS 的一个变体在证明上获得与现有量子算法相似的保证，同时将门数量降低至最多 ε 的倒数量级，并仅使用一个辅助量子比特。
• 该框架系统性地允许通过梯度展开及相关方法对 Ansatz 树进行启发式裁剪/扩展。