[论文解读] Variety Membership Testing, Algebraic Natural Proofs, and Geometric Complexity Theory

Markus Bläser, Christian Ikenmeyer+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 47被引用 6

一句话总结

本文通過證明判斷三階張量的切片秩 ≤r 或最小秩 ≤r 的問題是 NP-完全的，確立了張量複雜度中關鍵代數曲面——切片秩與最小秩曲面——成員資格測試的 NP-難度。在標準複雜度假設下，該工作將代數自然證明障礙擴展至這些曲面，並展示幾何複雜度理論（GCT）可透過表示理論與行列式方法為它們生成非平凡方程，暗示 GCT 在解決如永久式與行列式之爭等基本複雜度問題方面具有潛力。

ABSTRACT

We study the variety membership testing problem in the case when the variety is given as an orbit closure and the ambient space is the set of all 3-tensors. The first variety that we consider is the slice rank variety, which consists of all 3-tensors of slice rank at most $r$. We show that the membership testing problem for the slice rank variety is $\NP$-hard. While the slice rank variety is a union of orbit closures, we define another variety, the minrank variety, expressible as a single orbit closure. Our next result is the $\NP$-hardness of membership testing in the minrank variety, hence we establish the $\NP$-hardness of the orbit closure containment problem for 3-tensors. Algebraic natural proofs were recently introduced by Forbes, Shpilka and Volk and independently by Grochow, Kumar, Saks and Saraf. Bläser et al. gave a version of an algebraic natural proof barrier for the matrix completion problem which relies on $\coNP \subseteq \exists \BPP$. It implied that constructing equations for the corresponding variety should be hard. We generalize their approach to work with any family of varieties for which the membership problem is $\NP$-hard and for which we can efficiently generate a dense subset. Therefore, a similar barrier holds for the slice rank and the minrank varieties, too. This allows us to set up the slice rank and the minrank varieties as a test-bed for geometric complexity theory (GCT). We determine the stabilizers of the tensors that generate the orbit closures of the two varieties and prove that these tensors are almost characterized by their symmetries. We prove several nontrivial equations for both the varieties using different GCT methods. Many equations also work in the regime where membership testing in the slice rank or minrank varieties is $\NP$-hard. We view this as a promising sign that the GCT approach might indeed be successful.

研究动机与目标

• 確立三階張量的切片秩與最小秩曲面成員資格測試的計算難度。
• 將代數自然證明框架擴展至這些曲面，證明在 coNP ⊆ ∃BPP 條件下，構造定義方程是困難的。
• 研究幾何複雜度理論（GCT）是否能為這些曲面產生非平凡方程，特別是在成員資格測試為 NP-難的情境下。
• 確定生成張量的穩定子群，並證明它們幾乎由其對稱性所唯一決定，從而支持在 GCT 中使用表示理論工具。

提出的方法

• 透過從已知的 NP-完全問題歸約，證明三階張量切片秩曲面成員資格測試的 NP-難度，從而證明判斷張量切片秩 ≤r 是 NP-完全的。
• 引入最小秩曲面作為單一軌道閉包，推廣廣義矩陣填充問題，並證明其成員資格測試亦為 NP-難。
• 將 Forbes、Shpilka 和 Volk 的代數自然證明障礙適應至成員資格為 NP-難且具有高效生成的穩態子集的曲面，從而為切片秩與最小秩曲面建立障礙。
• 使用表示理論技術——特別是最高權重向量與重數界——推導出兩種曲面的非平凡方程。
• 應用如緊湊表示的大行列式與 Koszul-扁平化方法，構造即使在 NP-難區間亦成立的方程。
• 透過穩定子分析，證明兩種曲面的軌道閉包之生成張量幾乎由其對稱性唯一決定。

实验结果

研究问题

• RQ1 三階張量的切片秩曲面成員資格測試是否為 NP-難？
• RQ2 在標準複雜度假設下，代數自然證明障礙是否可擴展至切片秩與最小秩曲面？
• RQ3 幾何複雜度理論（GCT）是否能在成員資格測試為 NP-難的情況下，為切片秩與最小秩曲面產生非平凡方程？
• RQ4 這些曲面的軌道閉包生成張量是否幾乎由其對稱性所唯一決定？
• RQ5 表示理論方法如最高權重向量與基於行列式的扁平化是否能為這些曲面產生方程？

主要发现

• 三階張量的切片秩曲面成員資格測試為 NP-難，確立了判斷張量切片秩至多為 r 的計算不可行性。
• 最小秩曲面（為單一軌道閉包）的成員資格測試亦為 NP-難，暗示三階張量的軌道閉包包含問題為 NP-難。
• 代數自然證明障礙適用於切片秩與最小秩曲面，意味著除非 coNP ⊆ ∃BPP，否則構造定義方程是困難的。
• 兩種曲面的生成張量的穩定子群被證明幾乎可由其對稱性唯一決定，支持在 GCT 中使用基於對稱性的方法。
• 即使在 NP-難區間，亦透過最高權重向量、Koszul-扁平化與大行列式構造出兩種曲面的非平凡方程。
• 這些方程在任意域上均成立，並表明 GCT 方法可為複雜度理論曲面產生有意義的不變量。