[论文解读] Vector bundles induced from jet schemes

Bailin Song|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过喷射概形构造复流形上的全纯向量丛 $ A_m(E,F) $，并证明当流形具有 $ SU(N) $ 旋进时，其全纯截面对应于 $ J_m(SL(N,\mathbb{C})) $-不变量。关键结果是：K3 曲面上的旋启 de Rham 复形的全局截面构成中心荷为 6 的简单 $ \mathcal{N}=4 $ 超共形顶点代数，推广了此前关于 Kummer 曲面的结果。

ABSTRACT

A family of holomorphic vector bundles is constructed on a complex manifold $X$. The space of the holomorphic sections of these bundles are calculated in certain cases. As an application, if $X$ is an $N$-dimensional compact Kähler manifold with holonomy group $SU(N)$, the space of holomorphic vector fields on its jet scheme $J_m(X)$ is calculated. We also prove that the space of the global sections of the chiral de Rham complex of a K3 surface is the simple $N=4$ superconformal vertex algebra with central charge $6$.

研究动机与目标

• 通过喷射概形在复流形上构造一族全纯向量丛 $ A_m(E,F) $。
• 当基流形具有 $ SU(N) $ 旋进时，计算 $ A_m(E,F) $ 的全纯截面空间。
• 将结果应用于计算 $ N $-维紧致凯勒流形具有 $ SU(N) $ 旋进时，喷射概形 $ J_m(X) $ 上的全纯向量场。
• 确定 K3 曲面上旋启 de Rham 复形的全局截面结构，将其与 $ \mathcal{N}=4 $ 超共形顶点代数联系起来。

提出的方法

• 将 $ A_m(E,F) $ 定义为通过自然投影 $ \pi_m: J_m(X) \to X $ 的 $ \operatorname{Sym}^*J_m(E) \otimes \wedge^*J_m(F) $ 的直接像。
• 利用喷射概形 $ J_m(X) $ 将张量丛从 $ X $ 提升至高阶喷射空间，借助其通过 $ \operatorname{Hom}(\operatorname{Spec}(A[t]/(t^{m+1})), X) $ 的函子性定义。
• 在 $ X $ 具有 $ SU(N) $ 旋进时，建立 $ A_m(E,F) $ 的全纯截面与喷射丛的 $ J_m(SL(N,\mathbb{C})) $-不变截面之间的同构。
• 应用旋启 Poincaré 对偶性与 K3 曲面的椭圆亏格，计算旋启 de Rham 上同调的分次维数。
• 利用经典不变量理论与 $ \partial $-环结构，识别 $ R^{\mathfrak{sl}(N,\mathbb{C})[t]} $，即喷射丛纤维的不变量。
• 证明 K3 曲面上旋启 de Rham 复形的全局截面构成一个由八个场强生成的简单顶点代数：$ Q(z), L(z), J(z), G(z), B(z), D(z), C(z), E(z) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地通过喷射概形在复流形上构造全纯向量丛？
• RQ2 当基流形具有 $ SU(N) $ 旋进时，$ A_m(E,F) $ 的全纯截面空间是什么？
• RQ3 对于具有 $ SU(N) $ 旋进的 $ N $-维紧致凯勒流形 $ X $，$ J_m(X) $ 上的全纯向量场行为如何？
• RQ4 K3 曲面上旋启 de Rham 复形的全局截面结构是什么？
• RQ5 K3 曲面上的旋启 de Rham 复形能否被识别为已知的超共形顶点代数？

主要发现

• 对于具有 $ SU(N) $ 旋进的 $ N $-维紧致凯勒流形 $ X $，$ J_m(X) $ 上的全纯向量场空间维数为 $ m $。
• K3 曲面上旋启 de Rham 复形的全局截面构成中心荷为 6 的简单 $ \mathcal{N}=4 $ 超共形顶点代数。
• 当 $ X $ 具有 $ SU(N) $ 旋进时，$ A_m(E,F) $ 的全纯截面空间同构于纤维的 $ J_m(SL(N,\mathbb{C})) $-不变量空间。
• K3 曲面上旋启 de Rham 复形的全局截面由八个场强生成：$ Q(z), L(z), J(z), G(z), B(z), D(z), C(z), E(z) $。
• $ \partial $-环不变量 $ R^{\mathfrak{sl}(N,\mathbb{C})[t]} $ 由八个特定元素生成，包括 $ \sum \beta^i c^i $，$ \sum b^i \partial \gamma^i $，$ b^1 \cdots b^N $，以及 $ c^1 \cdots c^N $。
• 对于一个恩里克斯曲面 $ X $，旋启 de Rham 复形满足 $ \Omega_X^{ch}(X) \cong \Omega_{\tilde{X}}^{ch}(\tilde{X})^\sigma $，其中 $ \sigma $ 是覆盖 K3 曲面 $ \tilde{X} $ 上的无不动点对合。