[论文解读] Vectorial Drinfeld modular forms over Tate algebras

Federico Pellarin, Rudolph Perkins|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文为 GL₂(𝔽ₚ[θ]) 的一个特定二维表示，建立了取值于 Tate 代数的向量型 Drinfeld 模形式的理论，确定了完整的模结构，刻画了单位根处的特殊化行为，并证明了这些形式在 Hecke 算子作用下保持稳定。此外，还表明这些特殊化形式为同余子群的 Hecke 特征形式，其特征值由 Goss 多项式与超微分算子决定。

ABSTRACT

In this text, we develop the theory of vectorial modular forms with values in Tate algebras introduced by the first author, in a very special case (dimension two, for a very particular representation of Γ := GL 2 (Fq[$theta$])). Among several results that we prove here, we determine the complete structure of the modules of these forms, we describe their specializations at roots of unity and their connection with Drinfeld modular forms for congruence subgroups of Γ and we prove that the modules generated by these forms are stable under the actions of Hecke operators.

研究动机与目标

• 为 GL₂(𝔽ₚ[θ]) 的一个特定表示发展取值于 Tate 代数的向量型模形式理论。
• 确定这些形式在 Tate 代数上的完整模结构。
• 研究其在单位根处的特殊化行为，并将其与同余子群的 Drinfeld 模形式联系起来。
• 证明由这些形式生成的模在 Hecke 算子作用下保持稳定。
• 建立函数域设定下超微分算子、A-展开式与 Hecke 特征形式之间的联系。

提出的方法

• 在秩 2 情形下，利用超微分算子与 Anderson 生成函数构造向量型模形式。
• 应用 Eisenstein 系列 𝒟₁ 的 τ-差分方程，分析其结构与变换性质。
• 通过在单位根处的取值映射，对形式进行特殊化，并将其与经典 Drinfeld 模形式联系起来。
• 在 t 上使用超微分算子生成新形式，并研究其 Hecke 特征值行为。
• 利用 A-展开式与 Goss 多项式，刻画 Hecke 算子的系数与特征值。
• 应用 Petersson 划分算子与同余子群理论，分析模形式性及在尖点处的全纯性。

实验结果

研究问题

• RQ1 取值于 Tate 代数的向量型 Drinfeld 模形式作为 Tate 代数上的模，其结构如何？
• RQ2 这些形式在单位根处的特殊化行为如何？它们与同余子群的 Drinfeld 模形式有何关系？
• RQ3 由这些形式生成的模在 Hecke 算子作用下是否保持不变？
• RQ4 t 上的超微分算子在此设定下如何与 Hecke 特征形式及 A-展开式相互作用？
• RQ5 特殊化形式的 A-展开式中的系数在多大程度上反映了 Hecke 特征值？与经典模形式相比有何不同？

主要发现

• 给定表示下向量型 Drinfeld 模形式的模被完全确定，并证明其在 Tate 代数上是自由的。
• 在 t = ζ（单位根）处对向量型 Eisenstein 系列 𝒟₁ 的特殊化，产生同余子群 Γ₁(𝔮ⁿ) 的 Hecke 特征形式，其特征值为 𝔭ᵏ（其中 𝔭 不整除水平数 𝔮）。
• Hecke 算子保持无穷远处的正则性，并稳定由这些形式生成的模。
• 当权 k ≡ 1 mod (q−1) 时，特殊化 ev_ζ(𝒟ₜ⁽ⁿ⁻¹⁾[ℰₖ]₁) 是一族 {Tₚ : 𝔭(ζ) ≠ 0} 的同时 Hecke 特征形式，其特征值为 {𝔭ᵏ}。
• u(𝑧) 的 A-展开式系数在 n ≥ 2 时为零，表明其与经典模形式的关键差异：在经典情形中，此类系数决定特征值。
• Hecke 特征值完全由 A-展开式中出现的 Goss 多项式 Gₖ 决定，且 u(𝔭𝑧) 的系数是 𝔭 与水平数的函数，而非直接依赖于特征值。