[论文解读] Velling-Kirillov metric on the universal Teichmuller curve

Lee-Peng Teo|ArXiv.org|Jun 19, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文引入了Velling-Kirillov度量，这是一种在全纯Teichmüller曲面上定义的Hermitian Kähler度量，通过变形区域的球面面积的二阶变分来定义。证明了该度量的辛形式的平方在垂直方向上的积分，可得到全纯Teichmüller空间与有限维Teichmüller空间上的Weil-Petersson辛形式。

ABSTRACT

We extend Velling's approach and prove that the second variation of the spherical areas of a family of domains defines a Hermitian metric on the universal Teichmuller curve, whose pull back to Diff+(S^1)/S^1 coincides with the Kirillov metric. We show that the vertical integration of the square of the symplectic form of Velling-Kirillov metric on the universal Teichmuller curve is the symplectic form that defines the Weil-Petersson metric on the universal Teichmuller space. Restricted to a finite dimensional Teichmuller space, the vertical integration of the corresponding form on the Teichmuller curve is also the symplectic form that defines the Weil-Petersson metric on the Teichmuller space.

研究动机与目标

• 通过球面面积的二阶变分，在全纯Teichmüller曲面上定义一个自然的Hermitian Kähler度量。
• 建立Velling的基于面积的度量与Kirillov在Diff+(S¹)/S¹上的共轭轨道度量之间的联系。
• 证明Velling-Kirillov度量的辛形式的平方在垂直方向上的积分，可恢复Teichmüller空间上的Weil-Petersson度量。
• 通过全纯Teichmüller曲面纤维上的积分，提供Weil-Petersson度量的新几何实现。

提出的方法

• 通过Schwarzian流下区域f^{tQ}(Δ)的球面面积的二阶导数来定义Velling-Kirillov度量。
• 利用全纯Teichmüller空间到A∞(Δ)的Bers嵌入，将切向量识别为全纯二次微分。
• 通过从原点出发的右平移不变性，在D̃中的单芽函数基础上构造全纯Teichmüller曲面上的度量。
• 通过向量场展开∑n|cn|²，证明该度量是Kähler的，并与Kirillov在Diff+(S¹)/S¹上的度量一致。
• 定义Velling-Kirillov度量的辛形式κ，并在p: T(1) → T(1)的纤维上进行垂直积分。
• 证明在T(1)上得到的(1,1)-形式ω即为Weil-Petersson辛形式，其在H^{3/2}切向量上定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 Velling在全纯Teichmüller空间上的基于面积的度量能否自然地延拓到全纯Teichmüller曲面上？
• RQ2 Velling-Kirillov度量在Diff+(S¹)/S¹上的拉回是否与Kirillov的共轭轨道度量一致？
• RQ3 Velling-Kirillov度量的辛形式的平方在垂直方向上的积分是否等价于T(1)上的Weil-Petersson度量？
• RQ4 该构造在与余有限Fuchsian群相关的有限维Teichmüller空间上是否正确限制？

主要发现

• Velling-Kirillov度量是全纯Teichmüller曲面上唯一的右不变Hermitian Kähler度量。
• 该度量的显式公式为‖Q‖_S² = ∑_{n=2}^∞ n|a_n|²，其中Q(z) = ∑_{n=2}^∞ (n³−n)a_n z^{n−2} 属于A∞(Δ)。
• Velling-Kirillov度量在Diff+(S¹)/S¹上的拉回与Kirillov的度量∑_{n=1}^∞ n|c_n|²一致，其中向量场为∑c_n e^{inθ} ∂_θ。
• 在p: T(1) → T(1)的纤维上对κ∧κ进行垂直积分，可得到T(1)上的Weil-Petersson辛形式，其在H^{3/2}切向量上定义。
• 对于任意余有限Fuchsian群Γ，该垂直积分在Teichmüller曲面F(Γ)上可恢复T(Γ)上的Weil-Petersson辛形式。
• 全纯Teichmüller曲面通过类似Bers的嵌入映射到A∞(Δ)，其像包含原点的一个开球。