[论文解读] Veronese webs for bihamiltonian structures of higher corank

Andriy Panasyuk|ArXiv.org|Jan 24, 2000

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 13被引用 22

一句话总结

本文将 Veronese 网推广至更高余维的完备双哈密顿结构，扩展了 Gelfand–Zakharevich 对于一般位置结构的框架。通过泊松对分解中的克罗内克块引入 Veronese 网，证明了实李代数的复单代数正规实形式在变量变换法下的平坦性，并表明该网在局部同构意义下唯一确定了结构。

ABSTRACT

It is shown how the well-known class of bihamiltonian structures in general position can be extended to a wider class. A generalization of the corresponding notion of a Veronese web for this wider class is presented (in the general position case Veronese webs form complete systems of local invariants for bihamiltonian structures). Some examples are considered.

研究动机与目标

• 将 Veronese 网的概念从一般位置双哈密顿结构推广至更广泛的退化、完备双哈密顿结构类，其余维更高。
• 在简化条件（非退化克罗内克块数量恒定，无同维块）下，为完备双哈密顿结构定义局部 Veronese 网。
• 建立 Veronese 网作为此类结构的完整局部不变量，推广已知的一般位置情形结果。
• 显式计算复单李代数正规实形式在变量变换法下的 Veronese 网。
• 探讨新 Veronese 网与现有概念（如克罗内克网和最大秩 d-网）之间的关系。

提出的方法

• 利用泊松对 $(c_1, c_2)$ 在每一点的克罗内克块分解，块维数为 $n_j + 1$，并假设相应子丛光滑变化。
• 将网分布 $T\tilde{\frak W}_\nu$ 的零化子定义为由 Veronese 曲线张成：$\alpha_\lambda^j = \sum_{i=0}^{n_j} \lambda_1^{n_j-i} \lambda_2^i \alpha_i^j$，其中 $\alpha_i^j$ 是旗滤子中的基1-形式。
• 施加简化条件：克罗内克块数量恒定为 $k$，所有块维数互异，且其张成子丛光滑分布。
• 应用 A. Brailov 的结果，表明完备双哈密顿结构可局部约化为 Veronese 网。
• 在变量变换法中，利用齐次多项式哈密顿量 $g_j$（次数为 $m_j+1$）通过泰勒系数 $g_j^i(a,x)$ 构造该网。
• 证明在 $\lambda = (\lambda_1, \lambda_2)$ 处，网的零化子由 $\sum_{i=0}^{m_j} \lambda_1^{m_j-i} \lambda_2^i dg_j^i(a,x)$ 生成，从而在实李代数情形下证明了平坦性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Veronese 网能否推广至一般位置以外的更高余维完备双哈密顿结构？
• RQ2 完备双哈密顿结构的 Veronese 网是否在局部同构意义下唯一确定该结构？
• RQ3 复单李代数正规实形式在变量变换法下的 Veronese 网具有何种结构？
• RQ4 新 Veronese 网与 Chern 和 Griffiths 研究的极大秩、余维 2 的 $d$-网之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下 Veronese 网是平坦的？非平坦性的几何意义是什么？

主要发现

• 对于更高余维的完备双哈密顿结构，Veronese 网通过余切空间中的 Veronese 曲线定义，其零化子由 $\alpha_\lambda^j = \sum_{i=0}^{n_j} \lambda_1^{n_j-i} \lambda_2^i \alpha_i^j$ 生成。
• 在复单李代数正规实形式的变量变换法中，Veronese 网是平坦的，且类型为 $(m_1, \ldots, m_r)$，其中 $m_j$ 为该代数的指数。
• 该网平坦，因为微分 $dg_j^i(a,x)$ 线性无关且张成约化余切空间，从而保证了分布旗的完全可积性。
• 网中独立函数的个数为 $\sum_{j=1}^r (m_j + 1) = \frac{1}{2}(\dim \mathfrak{g} - r)$，与约化空间 $({{\mathfrak{g}}^* \setminus I})/{\mathcal{L}}$ 的维数一致。
• 该网在一般情况下并非平坦；旗分布的不可积性（如例3和3.4所示）导致 Veronese 网非平坦。
• 本文表明，在简化条件下，Veronese 网构造是完备双哈密顿结构的完整局部不变量，推广了 Gelfand–Zakharevich 的结果。