[论文解读] Vertex-algebraic structure of principal subspaces of the basic modules for twisted Affine Kac-Moody Lie algebras of type $A_{2n-1}^{(2)}, D_n^{(2)}, E_6^{(2)}$

Michael Penn, Christopher Sadowski|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文提出了一类关于类型 $A_{2n-1}^{(2)}$、$D_n^{(2)}$ 和 $E_6^{(2)}$ 的扭化仿射 Kac-Moody 李代数的基本模的主子空间的顶点代数构造，通过生成元与关系式推导出其多分次维数的精确序列与递推关系。求解这些递推关系后，得到其分次维数的显式公式，形式为包含 $q$-Pochhammer 符号以及分别来自 $C_n$、$B_{n-1}$ 和 $F_4$ 的对称化 Cartan 矩阵所导出的对称矩阵的和式。

ABSTRACT

We obtain a presentation of principal subspaces of basic modules for the twisted affine Kac-Moody Lie algebras of type $A_{2n-1}^{(2)}$, $D_n^{(2)}$ and $E_6^{(2)}$. Using this presentation, we construct exact sequences among these principal subspaces, and use these exact sequences to obtain recursions satisfied by graded dimensions of the principal subspaces. Solving these recursions, we obtain the graded dimensions of the principal subspaces.

研究动机与目标

• 建立类型 $A_{2n-1}^{(2)}$、$D_n^{(2)}$ 和 $E_6^{(2)}$ 的扭化仿射 Kac-Moody 李代数的基本模的主子空间的顶点代数表示。
• 通过自然的平移映射与消去算子，构造这些主子空间之间的精确序列。
• 推导主子空间的多分次维数的递推关系。
• 求解这些递推关系，得到以 $q$-级数表示的分次维数的显式封闭表达式。

提出的方法

• 利用 Dynkin 图自同构 $\nu$，将类型 $A_{2n-1}^{(1)}$、$D_n^{(1)}$ 和 $E_6^{(1)}$ 的格点顶点算子代数 $V_L$ 的扭模 $V_L^T$ 构造为扭模。
• 将主子空间 $W_L^T$ 定义为由 $V_L^T$ 中的最高权向量生成的 $\overline{\mathfrak{n}}[\hat{\nu}]$-模。
• 引入可消去最高权向量的自然算子，并生成左理想，用于定义主子空间的表示。
• 通过在理想之间构造平移映射，建立主子空间之间的精确序列。
• 基于 $\nu\alpha_i = \alpha_i$ 是否成立，推导主子空间的多分次特征标 $\chi'(\mathbf{x};q)$ 的递推关系 (1.1) 和 (1.2)。
• 利用 $q$-Pochhammer 符号以及来自 $C_n$、$B_{n-1}$ 和 $F_4$ 的对称化 Cartan 矩阵导出的矩阵形式求解递推关系，得到特征标公式 (5.31)。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在顶点代数框架下，通过生成元与关系式，对类型 $A_{2n-1}^{(2)}$、$D_n^{(2)}$ 和 $E_6^{(2)}$ 的扭化仿射 Kac-Moody 代数的基本模的主子空间进行表示？
• RQ2 如何通过自然的平移映射与消去算子，构造这些主子空间之间的精确序列？
• RQ3 哪些递推关系控制这些主子空间的多分次维数？
• RQ4 这些主子空间的分次维数如何与 $q$-级数及 Nahm 型求和相关联，特别是当分母中包含 $(q^a; q^a)_{m_i}$ 时？
• RQ5 主子空间的多分次特征标 $\chi'(\mathbf{x};q)$ 的显式封闭表达式是什么？

主要发现

• 对于 $A_{2n-1}^{(2)}$，主子空间的多分次维数为 $\chi'(\mathbf{x};q) = \sum_{\mathbf{m} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^n} \frac{q^{\frac{1}{2} \mathbf{m}^t A \mathbf{m}}}{(q^2;q^2)_{m_1} \cdots (q^2;q^2)_{m_n}} x_1^{m_1} \cdots x_n^{m_n}$，其中 $A$ 是 $C_n$ 的对称化 Cartan 矩阵，且最后一行乘以 2。
• 对于 $D_n^{(2)}$，特征标为 $\chi'(\mathbf{x};q) = \sum_{\mathbf{m} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{n-1}} \frac{q^{\frac{1}{2} \mathbf{m}^t A \mathbf{m}}}{(q^2;q^2)_{m_1} \cdots (q^2;q^2)_{m_{n-2}} (q;q)_{m_{n-1}}} x_1^{m_1} \cdots x_{n-1}^{m_{n-1}}$，其中 $A$ 是 $B_{n-1}$ 的对称化 Cartan 矩阵，且前 $n-2$ 行乘以 2。
• 对于 $E_6^{(2)}$，特征标为 $\chi'(\mathbf{x};q) = \sum_{\mathbf{m} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^4} \frac{q^{\frac{1}{2} \mathbf{m}^t A \mathbf{m}}}{(q^2;q^2)_{m_1} (q;q)_{m_2} (q^2;q^2)_{m_3} (q^2;q^2)_{m_4}} x_1^{m_1} \cdots x_4^{m_4}$，其中 $A$ 是 $F_4$ 的对称化 Cartan 矩阵，且最后两行乘以 2。
• 平移后的主子空间 $W_L^{T,\gamma}$ 的特征标 $\chi_j'(\mathbf{x};q)$ 满足 $\chi_j'(\mathbf{x};q) = \chi'(x_1, \dots, q^a x_j, \dots, x_k; q)$，其中若 $\nu\alpha_{i_j} = \alpha_{i_j}$，则 $a=2$，否则 $a=1$。
• 递推关系 (1.1) 和 (1.2) 被求解，得到显式特征标公式 (5.31)，该公式将 Rogers-Ramanujan 型恒等式推广至扭化仿射李代数。
• 所得特征标与 Nahm 求和密切相关，但并非 Nahm 求和，因为分母中存在类似 $(q^2; q^2)_{m_i}$ 的项，表明其具有独特的 $q$-级数结构。