[论文解读] Vertex algebras and Teichmüller modular forms

Giulio Codogni|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文通过模空间上稳定曲线的关联函数与真空丛，从幺正顶点代数构造了陶氏模形式（称为划分函数）。证明了这些形式在映射类群作用下变换为模形式，并表明在亏格1时，其结果恢复了朱哲明的模性结果。关键贡献在于在施托奇坐标系下的亏格展开，使该构造可应用于施托奇问题与顶点代数的分类，包括在有效锥斜率条件下，对月光顶点代数在亏格6以内唯一性的结果。

ABSTRACT

We associate to any holomorphic vertex algebra a collection of Teichmüller modular forms, one in each genus. In genus one we obtain the character of the vertex algebra, and we thus reprove Zhu's modularity result. In higher genus, we prove that these forms have an expansion in terms of the correlation functions of the vertex algebra. We propose applications to the Schottky problem, to the study of the slope of the effective cone of the moduli space of curves, and to the classification of holomorphic vertex algebras. In particular, we prove a uniqueness result for high genera partition functions of the moonshine vertex algebra.

研究动机与目标

• 在稳定曲线的模空间上，为任意幺正顶点代数关联一个典范线丛截面（划分函数）。
• 证明这些划分函数在映射类群作用下为模形式，推广朱在亏格1时的结果。
• 利用关联函数，在施托奇坐标系下发展划分函数的亏格展开。
• 将该构造应用于施托奇问题与幺正顶点代数的分类，特别是月光顶点代数。
• 提出猜想，将划分函数相等与顶点代数同构联系起来，并给出分类的可有效版本。

提出的方法

• 构造从顶点代数与亚纯微分形式张量积到顶点代数自同态的映射，然后通过像理想商化定义真空丛。
• 证明真空向量在真空丛中的像为模空间 M̄g,n 上 Hodge 线丛 λ^⊗(c/2) 的非零截面。
• 在边界除子 δ₀ 附近使用施托奇坐标，将划分函数展开为 q₁,…,qg 的幂级数，其系数由关联函数给出。
• 利用 theta 级数性质与模不变性，证明该展开在映射类群作用下为权为 c/2 的陶氏模形式，至多相差一个普遍全纯因子。
• 通过比较划分函数与 M̄g 上有效锥的斜率界，将该构造应用于特定顶点代数（如月光顶点代数）。
• 利用展开式与模性质，通过检验 Siegel 模形式是否在曲线簇上消失，来研究施托奇问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过曲线模空间上的几何构造，为任意幺正顶点代数关联一个典范模形式？
• RQ2 顶点代数的划分函数在曲线退化时如何行为？能否在局部坐标系下展开？
• RQ3 划分函数在多大程度上决定了幺正顶点代数的同构类？
• RQ4 该构造能否用于区分非同构的顶点代数，特别是在月光模情形？
• RQ5 M̄g 的有效锥需满足何种条件，才能使低亏格下划分函数相等蕴含顶点代数同构？

主要发现

• 幺正顶点代数的划分函数在 M̄g,n 上定义了 λ^⊗(c/2) 的非零截面，且在缝合与投影态射下保持不变。
• 在亏格1时，划分函数恢复了朱的模性结果：特征为权 c/2 的模形式。
• 划分函数在施托奇坐标系下具有亏格展开：1g(V) = ∑χk q₁^{k₁}⋯qg^{kg}，其中 χk 为顶点算符的关联函数。
• 该展开在映射类群作用下为权 c/2 的陶氏模形式，至多相差一个普遍全纯因子。
• 对于中心荷为24且 V♮₁=0 的月光顶点代数 V♮，其划分函数在亏格6以内与任何其他此类顶点代数的划分函数一致。
• 若对所有 g ≤ g₀，M̄g 的有效锥斜率超过6，则划分函数在亏格 g₀ 以内相等蕴含顶点代数同构。