[论文解读] Vertex Cover Structural Parameterization Revisited

Fomin, Fedor V., Strømme, Torstein J. F.|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2016

Advanced Graph Theory Research被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于伪森林模量的顶点覆盖问题的多项式核化方法，将任意实例缩减为大小为 $\mathcal{O}(|X|^{12})$ 个顶点的实例，其中 $X$ 为模量。此外，本文证明了若不成立 $\text{NP} \subseteq \text{coNP/poly}$，则对拟森林模量不存在此类核化，从而也排除了外平面图和环状图模量的多项式核化。

ABSTRACT

A pseudoforest is a graph whose connected components have at most one cycle. Let X be a pseudoforest modulator of graph G, i. e. a vertex subset of G such that G-X is a pseudoforest. We show that Vertex Cover admits a polynomial kernel being parameterized by the size of the pseudoforest modulator. In other words, we provide a polynomial time algorithm that for an input graph G and integer k, outputs a graph G' and integer k', such that G' has O(|X|12) vertices and G has a vertex cover of size k if and only if G' has vertex cover of size k'. We complement our findings by proving that there is no polynomial kernel for Vertex Cover parameterized by the size of a modulator to a mock forest (a graph where no cycles share a vertex) unless NP is a subset of coNP/poly. In particular, this also rules out polynomial kernels when parameterized by the size of a modulator to outerplanar and cactus graphs.

研究动机与目标

• 将顶点覆盖问题的多项式核化结果从反馈顶点集和度数为2的模量扩展至更广的结构参数。
• 研究顶点覆盖问题在参数化为树宽-2图类模量时是否存在多项式核化。
• 确定顶点覆盖问题在结构参数化下的核化极限。
• 为拟森林、外平面图和环状图的模量建立紧致的下界。

提出的方法

• 设计一种利用伪森林结构特化的规约规则的核化算法。
• 借助一个关于伪树中最大独立集的新组合引理来指导规约过程。
• 构建一个多项式时间预处理算法，输出大小为 $\mathcal{O}(|X|^{12})$ 的等价实例。
• 通过从 3-SAT 的规约证明下界，构造一个图 $G - X$ 为拟森林的图。
• 证明：若存在拟森林模量的多项式核化，则意味着 $\text{NP} \subseteq \text{coNP/poly}$。
• 通过证明外平面图和环状图是拟森林的子集，将下界构造推广至这两类图。

实验结果

研究问题

• RQ1 当参数化为伪森林模量的大小时，顶点覆盖问题是否具有多项式核化？
• RQ2 反馈顶点集的核化结果能否推广到更强的结构参数（如伪森林）？
• RQ3 当参数化为拟森林、外平面图或环状图模量时，顶点覆盖问题是否存在多项式核化？
• RQ4 在树宽-2图类之外的结构参数化下，顶点覆盖问题的核化极限是什么？
• RQ5 在标准复杂性假设下，能否排除拟森林模量存在多项式核化的可能性？

主要发现

• 当参数化为伪森林模量的大小时，顶点覆盖问题具有多项式核化，且核的大小被限制在 $\mathcal{O}(|X|^{12})$ 个顶点以内。
• 该核化算法是构造性的，依赖于关于伪树中最大独立集的一个新组合引理。
• 若顶点覆盖问题对拟森林模量存在多项式核化，则意味着 $\text{NP} \subseteq \text{coNP/poly}$，这被认为是极不可能的。
• 该下界也排除了外平面图模量和环状图模量的多项式核化。
• 下界通过从 3-SAT 的规约建立：模量 $X$ 对应变量的真值赋值，子句部件强制满足性条件。
• 该构造表明 $G - X$ 是外平面图，且该下界也适用于块图。