[论文解读] Vertex operator algebras associated to the Virasoro algebra over an arbitrary field

Chongying Dong, Li Ren|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 36被引用 3

一句话总结

本文在任意特征不为2的域 $\mathbb{F}$ 上构造并分类了与 Virasoro 代数相关的顶点算子代数。通过费米子实现和奇异向量分析，证明当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ 时，$L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 是有理的，具有三个不可约模（$h = 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{16}$）；而当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ 时，仅存在两个不可约模，这是由于在度数4处出现退化的奇异向量。

ABSTRACT

The vertex operator algebras and modules associated to the highest weight modules for the Virasoro algebra over an arbitrary field F whose characteristic is not equal to 2 are studied. The irreducible modules of vertex operator algebra L(1/2,0)_F are classified. The rationality of L(1/2,0)_F is established if the characteristic of F is different from 7.

研究动机与目标

• 研究任意特征不为2的域 $\mathbb{F}$ 上的顶点算子代数及其模，将复分析结果推广至一般域。
• 对这类域上顶点算子代数 $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 的不可约模进行分类。
• 在 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ 时建立 $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 的有理性，并分析 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ 时的例外情况。
• 研究 $L(\frac{1}{2},h)$ 的 $R$-形式在基域扩张至 $\mathbb{F}$ 时的行为，特别是当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ 时 $\mathbb{F} \otimes_R L(\frac{1}{2},h)_R \cong L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$ 不成立的原因。

提出的方法

• 通过顶点算子超代数 $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z}+\frac{1}{2})$ 及其 $\tau$-扭模 $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z})$ 实现 $L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$，其中 $H_\mathbb{F} = \mathbb{F}a$ 且 $(a,a)=1$。
• 利用 [FF] 中的公式显式构造 Verma 模 $V(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$ 中的奇异向量，从而实现不可约模的分类。
• 利用 $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z})$ 和 $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z}+\frac{1}{2})$ 上的非退化对称双线性型，证明子模的完全可约性与不可约性。
• 证明当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ 时，$V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z}+\frac{1}{2})$ 的偶部与 $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 同构，奇部与 $L(\frac{1}{2},\frac{1}{2})_\mathbb{F}$ 同构；且 $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z})$ 的两部分均同构于 $L(\frac{1}{2},\frac{1}{16})_\mathbb{F}$。
• 通过正交补与极大齐次子模的归纳论证，证明 $Vir_\mathbb{F}$-模的完全可约性，从而确立 $L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$ 的不可约性。
• 分析 $V(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 中的奇异向量 $a(-\frac{1}{2})a(-\frac{7}{2}) - 3a(-\frac{3}{2})a(-\frac{5}{2})$，其仅在 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ 时为最高权向量，且在 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ 时出现度数4的奇异向量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意特征不为2的域 $\mathbb{F}$ 上，顶点算子代数 $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 的结构是怎样的？
• RQ2 当特征变化时，$L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 具有多少个非等价不可约模？
• RQ3 $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 对所有满足 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 2$ 的 $\mathbb{F}$ 是否都是有理的？$\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ 在此问题中起什么作用？
• RQ4 为何当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ 时，$R = \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ 上的 $R$-形式 $L(\frac{1}{2},h)_R$ 无法正确进行基域扩张至 $L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$？
• RQ5 当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ 时，$V(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 中度数为4的奇异向量有何意义？它如何改变模的结构？

主要发现

• 当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ 时，顶点算子代数 $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 是有理的，且恰好具有三个非等价不可约模 $L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$，对应 $h = 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{16}$。
• 当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ 时，$L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 仅有两个非等价不可约模：$L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 和 $L(\frac{1}{2},\frac{1}{2})_\mathbb{F}$，这是由于 $\frac{1}{2} = \frac{1}{16}$ 的坍缩以及出现一个度数为4的奇异向量。
• 当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ 时，顶点算子超代数 $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z}+\frac{1}{2})$ 的偶部同构于 $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$，其奇部同构于 $L(\frac{1}{2},\frac{1}{2})_\mathbb{F}$。
• 当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ 时，$\tau$-扭模 $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z})$ 的偶部与奇部均同构于 $L(\frac{1}{2},\frac{1}{16})_\mathbb{F}$，从而确认了第三个模的存在。
• 奇异向量 $a(-\frac{1}{2})a(-\frac{7}{2}) - 3a(-\frac{3}{2})a(-\frac{5}{2})$ 是 $V(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ 中的最高权向量，当且仅当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$，这对分类至关重要。
• 当 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ 时，$R$-形式 $L(\frac{1}{2},h)_R$（其中 $R = \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$）无法进行基域扩张至 $L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$，表明有理 VOAs 的预期下降性质在此处失效。