[论文解读] Vietoris-Rips Complexes of Regular Polygons

Henry Adams, Samir Chowdhury+2 more|ArXiv.org|Jul 28, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文利用循环图论和缠绕分数，刻画了正多边形 $P_n$ 的 Vietoris–Rips 复形的同伦类型与持久同调。结果表明，当 $n = (k+1)!!$ 时，这些复形展现出所有维度的球面，其中 $2l$-维球面的数量与内接正三角星的数量相关，并且证明了 $P_n$ 的稠密子集在高维中可能无法保持同伦类型或同调性质。

ABSTRACT

Persistent homology has emerged as a novel tool for data analysis in the past two decades. However, there are still very few shapes or even manifolds whose persistent homology barcodes (say of the Vietoris-Rips complex) are fully known. Towards this direction, let $P_n$ be the boundary of a regular polygon in the plane with $n$ sides; we describe the homotopy types of Vietoris-Rips complexes of $P_n$. Indeed, when $n=(k+1)!!$ is an odd double factorial, we provide a complete characterization of the homotopy types and persistent homology of the Vietoris-Rips complexes of $P_n$ up to a scale parameter $r_n$, where $r_n$ approaches the diameter of $P_n$ as $n o\infty$. Surprisingly, these homotopy types include spheres of all dimensions. Roughly speaking, the number of higher-dimensional spheres appearing is linked to the number of equilateral (but not necessarily equiangular) stars that can be inscribed into $P_n$. As our main tool we use the recently-developed theory of cyclic graphs and winding fractions. Furthermore, we show that the Vietoris-Rips complex of an arbitrarily dense subset of $P_n$ need not be homotopy equivalent to the Vietoris-Rips complex of $P_n$ itself, and indeed, these two complexes can have different homology groups in arbitrarily high dimensions. As an application of our results, we provide a lower bound on the Gromov-Hausdorff distance between $P_n$ and the circle.

研究动机与目标

• 完全刻画正多边形 $P_n$ 的 Vietoris–Rips 复形的同伦类型与持久同调。
• 理解持久同调如何在大尺度参数下捕捉 $P_n$ 的几何特征。
• 研究 $P_n$ 的稠密有限子集是否保持完整多边形的 Vietoris–Rips 复形的同伦类型。
• 利用拓扑不变量为 $P_n$ 与单位圆 $S^1$ 之间的 Gromov–Hausdorff 距离提供下界。

提出的方法

• 利用循环图及其团复形理论分析 $r < r_n$ 时 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 的 1-骨架。
• 应用缠绕分数概念以控制团复形同伦类型中球面的维度。
• 证明 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 在尺度 $r$ 和 $n = q(2l+1)$ 的取值下，同伦等价于球面的楔和或奇维球面。
• 使用尺度参数 $s_{n,l}$ 和 $t_{n,l}$ 对 $r$ 的范围进行划分，并对各区间内的同伦类型进行分类。
• 运用度量几何工具，包括距离函数的 Hausdorff 距离，推导 $P_n$ 与 $S^1$ 之间 Gromov–Hausdorff 距离的下界。
• 分析持久同调在大尺度下的行为，与小尺度收敛结果（如 Latschev 定理）进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $n$ 和 $r$ 值，Vietoris–Rips 复形 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 同伦等价于球面的楔和或奇维球面？
• RQ2 内接于 $P_n$ 的正三角星的数量如何与 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 中高维球面的数量相关？
• RQ3 即使在高维中，$P_n$ 的稠密有限子集的 Vietoris–Rips 复形是否可能不与 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 同伦等价？
• RQ4 在大尺度参数下，$P_n$ 的持久同调与圆 $S^1$ 的持久同调之间存在何种精确关系？
• RQ5 对于黎曼流形 $M$，其任意采样密度下的 Vietoris–Rips 复形是否对所有 $r>0$ 保持与 $\mathbf{VR}(M;r)$ 同伦等价？

主要发现

• 当 $n = q(2l+1)$ 时，若 $s_{n,l} < r \leq t_{n,l}$，则 $\mathbf{VR}_{<}(P_n;r)$ 同伦等价于 $\bigvee^{q-1} S^{2l}$；若 $t_{n,l} < r \leq s_{n,l+1}$，则同伦等价于 $S^{2l+1}$。
• 当 $r < \tilde{r} \leq t_{n,l}$ 或 $t_{n,l} < r < \tilde{r} \leq s_{n,l+1}$ 时，包含映射 $\mathbf{VR}_{<}(P_n;r) \hookrightarrow \mathbf{VR}_{<}(P_n;\tilde{r})$ 是同伦等价，表明在区间内同伦类型具有稳定性。
• 任意稠密子集的 Vietoris–Rips 复形在高维中可能与 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 拥有不同的同调群。
• 对于偶数 $n \geq 6$，$P_n$ 与 $S^1$ 之间的 Gromov–Hausdorff 距离下界为 $0.116$，该结果优于仅依赖度量几何推导的界限。
• 通过持久同调得出的 $0.116$ 下界优于通过距离函数的 Hausdorff 距离获得的 $0.0986$ 的度量基下界。
• 本文通过反例回答了问题 9.3，表明即使当 $n \to \infty$ 时，$P_n$ 的稠密子集 $X \subset P_n$ 的 $\mathbf{VR}(X;r)$ 的同伦类型也可能不匹配 $\mathbf{VR}(P_n;r)$。