[论文解读] Volume estimate about shrinkers

Xu Cheng, Detang Zhou|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文针对满足坍缩孤立子型条件的势函数的完备非紧黎曼流形，建立了精确的体积增长估计。通过分析此类函数的加权体积与水平集增长，作者推导出欧氏空间中自缩子及梯度坍缩里奇孤立子的精确多项式体积界，证明了自缩子的恰当性、多项式体积增长与有限加权体积之间的等价性。

ABSTRACT

We derive a precise estimate on the volume growth of the level set of a potential function on a complete noncompact Riemannian manifold. As applications, we obtain the volume growth rate of a complete noncompact self-shrinker and a gradient shrinking Ricci soliton. We also prove the equivalence of weighted volume finiteness, polynomial volume growth and properness of an immersed self-shrinker in Euclidean space.

研究动机与目标

• 推导满足特定微分不等式的完备非紧黎曼流形的通用体积增长估计。
• 将通用估计应用于欧氏空间中的自缩子与梯度坍缩里奇孤立子，获得显式的体积增长界。
• 建立欧氏空间中浸入自缩子的恰当性、多项式体积增长与有限加权体积之间的等价性。
• 以有限加权体积条件重新诠释并重述Colding-Minicozzi紧致性定理。
• 通过势函数技术，为梯度坍缩孤立子的欧氏体积增长估计提供一种新的、独立的证明。

提出的方法

• 定义加权拉普拉斯算子 $\Delta_f u = \Delta u - \langle \nabla f, \nabla u \rangle$ 与加权测度 $e^{-f} dv$。
• 引入水平集 $D_r = \{x \in M : 2\sqrt{f} < r\}$，并分析其体积 $V(r)$ 与加权体积 $V_f(r)$。
• 在假设 $|\nabla f|^2 \leq f$ 与 $\Delta_f f + f \leq k$ 下，建立关键估计 $V(r) \leq C r^{2k}$（对 $r \geq 1$）。
• 证明在此假设下，总加权体积 $\int_M e^{-f} dv < \infty$。
• 通过设定 $f = |x|^2/4$，将一般结果应用于 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的自缩子，得到体积增长 $\text{Vol}(B_r \cap \Sigma) \leq C r^{n - 2\beta}$。
• 利用定理1.3中条件(i)–(iv)的等价性，将Colding-Minicozzi紧致性定理重新表述为基于有限加权体积的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在恰当浸入假设下，完备非紧自缩子 $\Sigma^n$ 在欧氏空间 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的精确体积增长速率是什么？
• RQ2 自缩子的恰当性、多项式体积增长与有限加权体积之间存在何种关系？
• RQ3 能否仅通过势函数，而不依赖曲率假设，估计梯度坍缩里奇孤立子的体积增长？
• RQ4 体积增长界 $\text{Vol}(B_r(x_0)) \leq C r^{n - 2\beta}$ 对于梯度坍缩孤立子是否是精确的？
• RQ5 加权体积 $\int_{\Sigma} e^{-|x|^2/4} dv$ 的有限性是否蕴含自缩子的恰当性？

主要发现

• 对于欧氏空间 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的完备非紧自缩子 $\Sigma^n$，若 $\beta = \inf H^2$，则当 $r \geq 1$ 时，体积满足 $\text{Vol}(B_r(0) \cap \Sigma) \leq C r^{n - 2\beta}$，其中 $C > 0$ 依赖于 $\Sigma$。
• 上界 $r^{n - 2\beta}$ 是最优的，如 $\mathbb{R}^n$ 与 $S^k(\sqrt{2k}) \times \mathbb{R}^{n-k}$ 等例子所示。
• 对于任意欧氏空间 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的完备浸入自缩子，以下四者等价：(i) 恰当性，(ii) 欧氏体积增长，(iii) 多项式体积增长，(iv) 有限加权体积 $\int_{\Sigma} e^{-|x|^2/4} dv < \infty$。
• 梯度坍缩里奇孤立子的体积增长估计为 $\text{Vol}(B_r(x_0)) \leq C r^{n - 2\beta}$（$r \geq 1$），其中 $\beta = \inf R$。
• 该界是精确的，当且仅当为平坦欧氏空间或柱面坍缩孤立子时取等。
• 该方法为梯度坍缩孤立子的欧氏体积增长估计提供了一种不同于Cao与Zhou（2009）的独立证明。